거리공간의 특성
위상수학 공부 15. 거리공간의 특성
저번 주에 어찌어찌 수학 공부가 부족했습니다… 또 다음주에 고향 갈 일이 있어서 다소 급한 마음으로 공부를 하고 있습니다. 벌써 3월달이 끝나가네요… 사실 3월 내로 위상수학 다 끝내는 것이 목표였는데 많이 부족하네요. 에휴… 이러다 또 떨어지면… 그래도 그러지 않기를 바라는 마음에서 지금도 공부를 하고 있습니다. 이번에는 거리공간의 특성에 대해서 공부한 내용을 적어봤습니다.
Table of Contents
정리 6.17
거리 공간 (X, d)의 임의의 한 점 p는 가산집합
Βp = {S(p, 1/n) | n ∈ ℕ}
를 국소기저로 갖습니다.
증명
분명히 Βp의 모든 원소는 열린 집합이며 p를 포함합니다. 이제 G가 p를 포함하는 이의의 열린 집합이라고 하겠습니다. G는 열린 공들에 의하여 생성되었으므로 열린 공 S가 존재하여 p∈ S ⊆G입니다. 앞서 보조정리 6.11에 의해 양수 δ가 존재하여
p ∈ S(p, δ) ⊆ S ⊆ G
가 됩니다. 그런데 모든 양수 δ에 대하여 1/n0 < δ가 되는 자연수 n0이 존재하므로
p ∈ S(p, 1/n0) ⊆ S(p, δ) ⊆ S ⊆ G
를 만족시킵니다. 따라서 Βp는 p에서의 국소기저입니다.
정리 6.18
A가 거리 공간 (X, d)의 부분 집합일 때 cl(A)는 다음과 같습니다.
cl(A) = {x | d(x, A) = 0}
증명
d(p, A) = 0이라 하겠습니다. 그러면 중심이 p인 모든 열린 공은 A의 원소를 적어도 하나 포함합니다. 따라서 p를 포함하는 모든 열린 집합도 A의 원소를 적어도 하나 포함합니다. 따라서 p ∈ cl(A)입니다.
한편 d(p, A) = ε > 0인 p가 있다면 열린 공 S(p, ε/2)는 p를 포함하지만 A의 원소를 포함하지 않는 열린 집합입니다. 따라서 p not ∈ cl(A)입니다. (not ∈ 이거 기호(∉)가 있는데 제 폰트 문제인지 안보이네요ㅠㅠ) 결국 cl(A) = {x | d(x, A) = 0}입니다.
따름정리 6.19
거리공간 (X, d)에서 모든 유한집합은 닫힌 집합입니다.
증명
거리공간 (X, d)에서 d(x, p) = 0이면 x = p입니다. 따라서
cl({p}) = {x | d(x, {p}) = 0} = {p}
가 되어 모든 한원소집합은 닫힌 집합이 되고, 결국 모든 유안집합은 닫힌 집합이 됩니다.
예제 6.20
임의의 거리 공간 (X, d)에서 A ⊆ X일 때 d(A) = d(cl(A))임을 보이시오.
풀이
A ⊆ cl(A)이므로 d(A) ≤ d(cl(A))는 당연히 성립합니다. 이제 d(cl(A)) ≤ d(A)임을 보이겠습니다. cl(A) = {x | d(x, A) = 0}이므로, 임의의 양수 ε과 cl(A)에 속한 임의의 두 원소 x와 y에 대해서
d(x, a) < ε/3, d(y, b) < ε/3
이 되는 A의 원소 a와 b가 각각 존재합니다. 따라서
d(cl(A)) = sup{d(x, y) | x, y ∈ cl(A)}
≤ sup{d(x, a) + d(a, b) + d(b, y) | x, y ∈ cl(A)}
≤ ε/3 + d(A) + ε/3 < d(A) + ε
입니다. 결국 d(cl(A)) = d(A)가 됩니다.
정리 6.21
집합 A와 B가 거리 공간 (X, d)에 서로소인 닫힌 부분 집합이면, A ⊆ G, B ⊆ H를 만족시키는 서로소인 열린 집합 G와 H가 존재합니다.
증명
A 혹은 B가 공집합이면 ∅과 X가 우리가 원하는 서로소인 열린 집합이 됩니다. 이제 A와 B가 공집합이 아니라고 가정하겠습니다. A의 임의의 원소 α는 B에 속하지 않습니다. B는 닫힌 집합이므로 B = cl(B)이고, 따라서 d(α, B) = δa > 0 입니다. 마찬가지로 B의 모든 원소 b에 대하여 d(b, A)가 δb > 0 입니다. Sa = S(a, (1/3)δa), Sb = S(b, (1/3)δb)라고 하면, a ∈ Sa, b ∈ Sb입니다.
∪}{Sa | a ∈ A} = G, ∪{Sb | b ∈ B} = H
라고 하고 G와 H 역시 위의 성질들을 만족시킴을 보이겠습니다. G와 H는 열린 공들의 합집합이므로 역시 열린 집합입니다. A의 임의의 원소 a에 대하여 a ∈ Sa이므로 A ⊆ G이고, B의 임의의 원소 b에 대하여 b ∈ Sb이므로 B ⊆ H입니다. G ∩ H ≠ ∅이라고 가정하면, p ∈ G ∩ H에 대하여 p ∈ Sa*, p ∈ Sb*인 두 점 a*와 b*가 각각 A와 B에 존재합니다. 그런데 d(a*, b*) = ε > 0이고 d(a*, B) = δa* ≤ ε, d(b*, A) = δb* ≤ ε입니다. 그러나 d(a*, p) < (1/3)δa*이고 d(p, b*) < (1/3)δb*이므로, 삼각 부등식에 의하여
ε = d(a*, b*) ≤ d(a*, p) + d(p, b*)
< (1/3)δa* + (1/3)δb* ≤ ε/3 + ε/3 = (2/3)ε
이 되어서 모순입니다. 따라서 G ∩ H = ∅입니다.
예 6.22
ℝ2의 부분 집합
A = {(x, y) | xy ≤ -1, x < 0}, B = {(x, y) | xy ≥ 1, x > 0}
는 서로소이며 닫힌 집합입니다. 그러나 d(A, B) = 0입니다. 서로소인 닫힌 집합 사이의 거리는 0보다 크다고 생각하기 쉽지만 위 예는 0이 될 수 있음을 보여줍니다.
정리 6.23
거리 공간 (X, d)의 점들로 이루어진 수열 < an > 이 b로 수렴한다는 것은 임의의 양수 ε에 의해 양의 정수 n0이 존재해서
n > n0 ⇒ d(an, b) < ε
이 됩니다. 이때 b를 수열 < an > 의 극한이라 합니다.
정리 6.24
(X, d)가 거리 공간이고 A ⊆ X일 때 x ∈ Ā가 되기 위한 필요충분조건은 x로 수렴하는 A의 수열이 존재하는 것입니다.
증명
x ∈ Ā라 하겠습니다. 모든 자연수 n에 대해 S(x, 1/n)은 x를 포함하는 열린 집합이므로 항상 A와 만납니다. 각 n에 대해 xn ∈ A ∩ S(x, 1/n)을 하나씩 택하면 < xn > 은 분명히 A의 수열입니다. 임의의 ε에 대해 1/n0 < ε인 n0를 택하겠습니다. n > n0이면,
d(x, xn) < 1/n < 1/n0 < ε
이 되므로 < xn >은 x로 수렴합니다.
역으로 x로 수렴하는 A의 수열 < xn >이 존재한다고 하겠습니다. U가 x를 포함하는 열린 집합이라 하면 S(x, ε) ⊆ U인 S(x, ε)이 존재합니다. < xn >이 x로 수렴하므로 적당한 n0에 대해 n > n0이면 d(x, xn) < ε입니다. 따라서 xn ∈ S(x, ε) ∩ A이고 결국 U ∩ A ≠ 0입니다. 그러므로 X ∈ Ā입니다.
정의 6.25
(X, d)와 (Y, d*)는 거리공간입니다. f는 X에서 Y로 가는 함수이고, p는 X의 점입니다. 임의의 양수 ε에 대하여 양수 δ가 존재하여
d(p, x) < δ ⇒ d*(f(p), f(x)) < ε
일 때, f은 p에서 연속(continuous)이라 하고 모든 점에서 연속인 함수를 연속함수(continuous function)라 합니다.
