방향 도함수
미분기하학 공부 2. 탄젠트 벡터 나머지, 방향 도함수
벌써 5월이… 블로그 활동이 부진했는데 나름대로 공부를 하느라 그랬습니다. 한 2주 반정도 남았는데 최대한 열심히 해야죠… 미분기하학 이번에는 탄젠트 벡터 못 쓴 부분, 그리고 방향 도함수 관련 내용들에 대해서 공부한 내용들을 적어봤습니다. 이게 제가 2학년때 배운 것으로 기억하는데요, 분명 정말 어려운 과목인데 초반이라서 그런건지 어려워도 2학년때 배우는 과목이어서 그런건지 아직까지는 나름 차근차근 나와있습니다. 아직까지는 그나마 할만하네요…
Table of Contents
1. 탄젠트 벡터 나머지
탄젠트 벡터는 위 첫 사진에서 보이듯 어떤 점에서의 법선의 방향을 나타내는 벡터입니다. 마치 P에서 P+V로 선이 그어진 것처럼 보입니다.
Def 2.4에서 벡터 필드의 정의에 대해서 설명하고 있습니다. U1, U2, U3이 ℝ3에서 벡터 필드면 U1 = (1, 0, 0)p U2 = (0, 1, 0)p, U3 = (0, 0, 1)p로 정의됩니다. 그리고 {U1, U2, U3}을 ℝ3에서의 natural frame field라고 정의합니다. 그리고 Lemma 2.5 부분에서 유클리드 좌표 함수에 대한 설명이 있습니다. 저렇게 보면 너무 어려워보이는데… 사실상 점의 좌표 자체를 나타내는 것이라고 볼 수 있습니다. 기본적으로 단위 벡터 (1, 0, 0) 이런 식으로 있는 상태에서 V의 값에 의해서 점의 위치가 바뀌는 것을 표현한 것입니다. 그리고 V = v1u1 + v2u2 + v3u3 이런 식으로 표현할 수 있습니다.
2. 방향 도함수(Directional Derivatives)
Directional Derivatives, 방향 도함수는 탄젠트 벡터 Vp의 f방향으로의 도함수를 나타냅니다. 위 그림에서 3차원 위에 어떤 평면을 만드는 식으로 표현되어있습니다. 주어진 함수의 특정 점에서 어떤 방향으로 미분 값을 계산할 때 쓰입니다. 그리고 방향 도함수는 Vp[f] 식으로 표기합니다. the rates of charge of f는 f의 기울기를 뜻합니다. 그리고 그 밑 부분은 방향 도함수의 여러 가지 성질들에 대한 설명입니다.
