[위상수학 공부] 1장. 위상공간 (1) 위상공간의 정의

위상수학 공부 1장. 위상공간 (1) 위상공간의 정의

의외로 블로그에 수학을 올리시는 분들도 많으시고, 각자의 방법으로 블로그에 수학을 포스팅하곤 합니다. 저는 졸업시험을 위해서 방학때 복습하는 겸해서 블로그에 공부 내용을 올리는 것이니, 공부 방향도 철저히 졸업시험에 맞춰서 진행해보고자 합니다. 처음에는 좀 헤맬 수도 있는데 시도가 중요하겠죠. 하나씩 적어보겠습니다. 위상수학, 현대대수학, 해석학, 복소함수론, 미분기하학, 실함수론이 시험과목인데 일단 손이 닿는 대로 하나씩 해보겠습니다.

• 워드프레스에서 Latex를 하나하나 적용하면서 글을 쓰는 것이 너무 어려워서 식이 주르륵 나오는 곳을 제외하면 가급적 코드를 넣기 보다 수학 기호를 일일이 직접 넣거나 알파벳에 기울임을 쓰는 방식을 사용하였습니다. 그렇기에 실제 수학기호와는 조금 다른 글자가 다수 나올 수 있는 점 양해바랍니다. 혹은 대문자가 나올 법한 부분에 소문자를 쓴 부분도 좀 있습니다. 대표적으로 위상수학 내내 나올 타우같은 경우가 그런데요, 대문자가 그냥 기호 복붙하면 T랑 똑같이 생겨서; 다른 글자도 비슷한 사정이 있어서 그런 것이니 양해바랍니다.

Table of Contents

• 위상수학 공부 1장. 위상공간 (1) 위상공간의 정의
  • 위상공간의 정의
  • 정의 1.
    • 예 2.
    • 예 3.
    • 예 4.
    • 예제 5.
  • 정의 6.
    • 예 7.
    • 예제 8.
    • 참고 9.
    • 예제 10.

위상공간의 정의

정의 1.

공집합이 아닌 집합 X에 대하여, 멱집합 P(X)의 부분집합 τ가 다음의 세 가지 조건들을 만족할 때, τ를 X의 위상(tolopogy)이라고 합니다.

1. X와 Φ는 τ에 속한다.
2. τ의 원소들의 임의의 합집합은 τ에 속한다.
3. τ의 원소 두 개의 교집합은 τ에 속한다.

이 때 τ의 원소들을 τ-열린 집합 또는 열린 집합(Open Set)이라 정의하고, (X, τ)를 위상공간(topology space)라고 부릅니다.

예 2.

1. X의 멱집합 P(X)는 위상이 되기 위한 세 조건을 모두 만족시킵니다. 이때 P(X)를 D라 쓰며, X의 이산위상(discrete topology)이라 부릅니다. 또한 (X, D)를 이산공간(discrete space)라고 부릅니다.
2. ι = {X, Φ}는 X의 위상이 됩니다. 이 때 ι를 X의 비이산위상(indiscrete topology)이라 하고, (X, ι)를 비이산공간(indiscrete space)이라고 합니다.
3. X={a, b}이고, τ={X, Φ, {a}}이면 위상공간이 됩니다. 이 공간을 시에르핀스키 공간(Sierpinski space)라고 부릅니다.
4. ℝ의 모든 집합들의 집합족 U는 위 세 조건들을 만족합니다. 즉 U는 ℝ의 위상이라고 할 수 있습니다. 이 때 U를 ℝ의 보통위상(usual topology)이라고 하고, (ℝ, U)를 보통위상공간(usual topological space)이라고 합니다. 마찬가지로 ℝ²의 모든 열린 집합들의 집합족 U도 ℝ²의 위상이 됩니다. 이 때 U를 ℝ²의 보통위상이라 하고, (ℝ², U)를 보통위상공간이라 합니다.
5. C_f={X–F | F는 유한집합} ∪ {Φ}는 X의 위상이 됩니다. 이때 C_f를 X의 여유한위상(cofinite topology)이라고 하며, (X, C_f)를 여유한공간(cofinite space)이라고 합니다.
6. 집합 X가 무한집합일 때, C_c={X–C | C는 가산집합} ∪ {Φ}는 X의 위상이 됩니다. 이때 C_c를 X의 여가산위상(cocountable topology)이라 하며, (X, Cc)를 여가산공간(cocountable space)이라고 합니다.

예 3.

1. 집합 X가 두 개 이상의 원소를 가지는 집합이고, 공집합이 아닌, X의 진부분집합 A를 생각하면, τ={X, Φ, A}는 X의 위상이 됩니다.
2. X={a, b, c, d, e}일 때, 다음 집합들에 대해서 생각해보겠습니다.
   τ₁={X, Φ, {a}, {c, d}, {a. c. d}. {b. c. d. e}}
   τ₂={X, Φ, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d}}
   τ₃={X, Φ, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {a, b, d, e}}
   τ₁은 위 세 조건을 모두 만족시키므로 X의 위상입니다.
   τ₂는 {a, c, d} ∪ {b, c, d} = {a, b, c, d}를 원소로 갖지 않으므로 X의 위상이 아닙니다.
   τ₃는 {a, c, d} ∩ {a, b, d, e} = {a, d}가 다시 원소가 되지 못하므로 X의 위상이 아닙니다.

예 4.

집합 X={a}에 정의할 수 있는 위상을 모두 구하면 {Φ, X} = ι = D로서 한 가지밖에 없습니다.

예제 5.

X={a, b}에 정의할 수 있는 위상을 모두 구하시오.

• τ₁ = {Φ, X } = ι
• τ₂ = {Φ, X. {a}}
• τ₃ = {Φ, X. {b}}
• τ₄ = {Φ, X. {a}, {b}} = D

위 예제처럼 집합이 하나여도 위상이 여러개일 수 있습니다. 이 경우 두 위상의 크기를 비교할 수 있습니다.

정의 6.

위상 τ₁와 τ₂가 같은 집합 X의 위상이면서 τ₁ ⊆ τ₂ 일 때, τ₁은 τ₂보다 작은 위상, 약한 위상 등으로 부르며, 반대로 τ₂는 τ₁보다 큰 위상, 강한 위상, 세밀한 위상 등으로 부릅니다.

예 7.

위의 예제에서 τ₂는 τ₁보다 큰 위상이고, τ₂는 τ₄보다 약한 위상입니다.

예제 8.

τ₁과 τ₂가 X의 위상일 때, τ₁ ∩ τ₂는 X의 위상인가? 맞습니다. 왜냐하면

1. X∈τ₁이고 X∈τ₂이므로 X∈τ₁ ∩ τ₂입니다. 또한 Φ∈τ₁ 이고 Φ∈τ₂이므로 Φ∈τ₁ ∩ τ₂입니다.
2. 모든 α∈Γ에 대해 G_α∈τ₁ ∩ τ₂라 하면 G_α∈τ₁이고 G_α∈τ₂입니다. 그런데 τ₁와 τ₂가 각각 위상이므로 ∪_α∈ΓG_α∈τ₁이고 ∪_α∈ΓG_α∈τ₂가 됩니다. 따라서 ∪_α∈ΓG_α∈τ₁ ∩ τ₂입니다.
3. G₁, G₂∈τ₁ ∩ τ₂이라 하면 G₁, G₂∈τ₁이고 G₁, G₂∈τ₂입니다. 그런데 τ₁와 τ₂가 각각 위상이므로 G₁∩G₂∈τ₁이고 G₁∩G₂∈τ₂입니다. 따라서 G₁∩G₂∈τ₁ ∩ τ₂입니다.

1~3에 의하여 τ₁ ∩ τ₂은 위상입니다.

참고 9.

위상이 되기 위한 조건으로 세 가지 조건을 말씀드렸지만 사실상 두 가지 조건으로 생각할 수 있습니다.

1. ∪{G_α|α∈Φ} = Φ
2. ∩{G_α|α∈Φ} = X

즉 공집합 Φ가 τ의 원소가 된다는 것은 이미 두 번째 조건에 포함되며, 전체집합 X가 τ의 원소가 된다는 것은 세 번째 조건에서 ‘두 개’ 부분을 ‘유한 개’로 확장시킨 것으로 볼 수 있습니다. 즉, 아래 두 가지 조건을 만족시키는 τ가 위상입니다.

1. τ의 원소들의 임의의 합집합은 τ의 원소이다.
2. τ의 원소들의 유한교집합은 τ의 원소이다.

예제 10.

(Y, τ)는 위상공간이고 f : X -> Y는 함수입니다. 이 때 집합 τ*={f^–1(G) | G∈τ}는 X의 위상이 됨을 보이시오.

1. Φ=f^–1(Φ)∈τ*이고, X=f^-1(Y)∈τ*입니다.
2. U_α∈τ*이라 하면, 적당한 G_α∈τ가 존재하여 U_α=f^-1(G_α)입니다. 따라서 ∪U_α=∪f^-1(∪G_α)가 됩니다. 그런데 여기서 ∪G_α∈τ이므로 ∪U_α=∈τ*입니다.
3. U, V∈τ*이라 하면, 적당한 G, H ∈τ가 존재하여 U=f^-1(G), V=f^-1(H)이 됩니다. 따라서 U∩V=f^-1(G)∩f^-1(H)=f^-1(G∩H)입니다. 그런데 G∩H∈τ이므로 U∩V∈τ*입니다.