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[위상수학 공부] 3장. 위상공간 (3) 폐포

위상수학 세번째 폐포입니다. 폐포의 정의에 대해서 적어봤습니다. 폐포라고 하면 너무 어려운 말이고 닫음(closure)이라고 하면 조금 무슨 말이지 명확할 듯합니다.
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위상수학 공부 3장. 폐포

원래 방학 계획이 2월 내로 졸업시험 전과목…을 다 복습하는 것인데요, 솔직히 가능할 지 모르겠습니다; 지금 위상수학 1단원도 다 끝내지 못했는데… 그래도 요즘은 블로그 활동을 다소 줄이면서까지 시간이 있을 때는 수학 복습을 하고 있어서 그래도 가능한 한 진행하는 것이 목표입니다. 적어도 초고 정도라도 대부분 작성해둔다면 블로그에 재빨리 올릴 수는 있을 듯합니다. 여튼 3장 폐포 들어가겠습니다.

Table of Contents

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[위상수학 공부] 3장. 위상공간 (3) 폐포 1

정의 3.21

(X, τ)는 위상공간이고 AX의 부분집합입니다. A를 포함하는 모든 닫힌 집합들의 교집합을 A닫음(Closure) 또는 폐포라고 하고 cl(A) 또는

\[\bar{A}\]

라고 씁니다.(다만 제가 코딩 실력이 극히 부족해서 latex 등도 정말 최소한만 사용하는 중이어서 여기서는 A*로 대체하겠습니다.) 즉,

cl(A) = ⋂{F | AF, F는 닫힌 집합 }

입니다. 이때 cl(A)에 속하는 점을 A닫음점(closure point) 또는 폐포점이라 합니다.

참고 3.22 p ∈ cl(A) ⇔ A를 포함하는 모든 닫힌 집합 F에 대해 pF입니다.

정리 3.23

A의 폐포 cl(A)는 다음을 만족시킵니다.

  1. cl(A)는 닫힌 집합입니다.
  2. FA를 포함하는 닫힌 집합이면, A ⊆ cl(A) ⊆ F가 됩니다.
  3. A가 닫힌 집합이기 위한 필요충분조건은 A = cl(A)입니다.

예 3.24 집합 X = {a, b, c, d, e}에 위상 τ = {X, Ø, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e}}가 주어졌다고 가정해보겠습니다.

저기서 Ø, X. {b, c, d, e}, {a, b, e}, {b, e}, {a}가 닫힌 집합이므로,

cl(Ø) = Ø, cl({a}) = {a}, cl({b}) = {b, e}, cl({b, d}) = {b, c, d, e}

가 됩니다.

문제 3.25

  1. 이산공간 (ℝ, D)에서 cl(ℚ)를 구하여라.
  2. 비이산공간 (ℝ, ι)에서 cl(ℚ)를 구하여라.
  3. 여유한공간 (ℝ, Cf)에서 cl(ℚ)를 구하여라.
  4. 여가산공간 (ℝ, Cc)에서 cl(ℚ)를 구하여라.

풀이

  1. 이산공간에서는 ℚ도 닫힌 집합이므로 정의에 의해 cl(ℚ) = ℚ입니다.
  2. 비이산공간에서는 ℚ를 포함하는 닫힌 집합은 ℝ뿐이므로 cl(ℚ) = ℝ입니다.
  3. 여유한공간에서 닫힌 집합은 유한집합과 전체집합뿐입니다. 따라서 ℚ를 포함하는 닫힌 집합은 ℝ뿐입니다. 그러므로 cl(ℚ) = ℝ입니다.
  4. 여가산공간에서 닫힌 집합은 가산집합과 전체집합뿐입니다. 따라서 ℚ도 ℚ를 포함하는 닫힌 집합입니다. 그러므로 cl(ℚ) = ℚ입니다.

예제 3.26 무한집합 X에 대한 여유한공간 (X, Cf)에서 집합 A의 폐포 cl(A)를 구하시오.

풀이

여유한공간에서는 닫힌 집합은 유한집합과 전체집합 X뿐입니다. 따라서 A가 유한집합일 경우, A가 닫힌 집합이므로 cl(A) = A입니다. 또 A가 무한집합이면, A를 포함하는 닫힌 집합은 X뿐입니다. 결국 cl(A) = X입니다.

정리 3.27

위상공간 (X, τ)의 부분집합 A와 점 p에 대하여, 다음은 서로 동치입니다.

  1. p ∈ cl(A)
  2. p를 포함하는 임의의 열린 집합 G에 대해 GA ≠ Ø이다.

증명

(1) → (2) 점 p를 cl(A)의 원소라고 하겠습니다. 결론을 부정해서, p를 포함하는 적당한 열린 집합 G가 존재하여 GA = Ø이라 가정하겠습니다. 이럴 경우 X – GA를 포함하는 닫힌 집합이 되므로, 닫음의 성질에 의하여

A ⊆ cl(A) ⊆ X – G

가 됩니다. 따라서 cl(A)의 원소 pX – GG에 동시에 속해야 하므로 모순이 됩니다.

(2) → (1) 점 p가 cl(A)의 원소가 아니라 가정하겠습니다. 닫음의 정의에 의해, A를 포함하는 적당한 닫힌 집합 F가 존재하여 pF입니다. 따라서 X – Fp를 포함하는 열린 집합이며

A ∩ (X – F) ⊆ A ∩ (X – A) = Ø

을 만족시킵니다. 즉, p를 포함하는 열린 집합 X – F가 존재하여 A ∩ (X – F) = Ø입니다. 따라서 조건 (2)에 모순이 됩니다.

참고 3.28 위 정리의 대우명제에 의해서, p ∉ cl(A)가 되기 위한 필요충분조건은 p를 포함하고 GA = Ø인 적당한 열린 집합 G가 존재하는 것입니다.

따름정리 3.29

위상공간 (X, τ)의 점 p가 부분집합 A의 극한점이면, A의 닫음점이 됩니다. 즉,

A’ ⊆ cl(A)

입니다.

증명

pA’

p를 포함하는 임의의 열린 집합 G에 대해 (G – {p}) ∩ A ≠ Ø

p를 포함하는 임의의 열린 집합 G에 대해 GA ≠ Ø

p ∈ cl(A)

문제 3.30 AB의 부분집합일 때, cl(A)는 cl(B)의 부분집합인가?

풀이

p ∈ cl(A)이고 Gp를 포함하는 열린 집합이라고 하면, GA ≠ Ø입니다. 그런데 여기서 GAGB이므로, GB ≠ Ø입니다. 따라서 p ∈ cl(B)입니다. 그러므로 cl(A)는 cl(B)의 부분집합이 됩니다.

정리 3.31

A가 위상공간 (X, τ)의 부분집합일 때, 다음 사실이 성립합니다.

cl(A) = AA’

증명

A ⊆ cl(A)이고 A’ ⊆ cl(A)이므로 A A’ ⊆ cl(A)입니다. cl(A)가 A A’ 의 부분집합임을 보이기 위해서 X – (A A’ )의 원소 p를 택하겠습니다. pA의 극한점은 아니므로 p를 포함하는 적당한 열린 집합 G가 존재하여 (G – {p}) ∩ A = Ø이 됩니다.

따라서 GA = {p} 또는 GA = Ø이 됩니다. 그런데 pA의 원소가 아니므로 GA = Ø가 됩니다. 따라서 정리 3.27에 의해서 pA의 닫음점이 아닙니다. 대우명제에 의해서 결과가 나옵니다.

예시 3.32 보통위상공간 (ℝ, 𝛖)에서, 유리수 집합 ℚ의 유도집합을 구하면 ℚ = ℝ입니다. 따라서 ℚ의 닫음은 cl(ℚ) = ℚ ∪ ℚ = ℚ ∪ ℝ = ℝ이 됩니다.

정의 3.33

위상공간 (X, τ)에서 cl(A) = X일 때, 부분집합 AX에서 조밀(dense)하다고 합니다.

예 3.34

  1. 보통위상공간 (ℝ, 𝛖)에서 ℚ는 ℝ의 조밀한 부분집합입니다.
  2. 이산공간 (X, D)에서 조밀한 부분집합은 전체집합 X뿐입니다.
  3. 비이산공간 (X, ι)에서 공집합을 제외한 X의 모든 부분집합은 X의 조밀한 부분집합입니다.

정리 3.35

위상공간의 부분집합 A, B에 대해 다음 사실이 성립합니다.

  1. cl(Ø) = Ø
  2. A ⊆ cl(A)
  3. cl(AB) = cl(A) ∪ cl(B)
  4. cl(cl(A)) = cl(A)

증명

  1. 공집합은 공집합을 포함하는 가장 작은 닫힌 집합이므로, 공집합의 닫음은 공집합입니다.
  2. 닫음의 정의에 의하여 당연히 성립합니다.
  3. ABAB의 부분집합이므로 cl(A)와 cl(B)는 각각 cl(AB)의 부분집합입니다. 따라서 cl(A) ∪ cl(B)는 cl(AB)의 부분집합입니다. 역으로, cl(AB)가 cl(A) ∪ cl(B)의 부분집합임을 보이겠습니다.
    A ⊆ cl(A), B ⊆ cl(B)
    => AB ⊆ cl(A) ∪ cl(B)
    => cl(AB) ⊆ cl(cl(A) ∪ cl(B))
    여기서 cl(A) ∪ cl(B)은 닫힌 집합이므로,
    cl(cl(A) ∪ cl(B)) = cl(A) ∪ cl(B)이고,
    따라서 cl(AB) ⊆ cl(A) ∪ cl(B) 입니다.
    결국, cl(AB) = cl(A) ∪ cl(B)입니다.

cl(A)는 닫힌 집합이므로, 정리 3.29의 (3)에 의하여 cl(A) = cl(cl(A))입니다.

위 정리의 네 가지 조건은 쿠라토프스키 폐포공리라고 불리며, 위 네 가지 조건을 만족시키는 함수가 있으면 위상을 유일하게 정의할 수 있습니다.

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