폐포
위상수학 공부 3장. 폐포
원래 방학 계획이 2월 내로 졸업시험 전과목…을 다 복습하는 것인데요, 솔직히 가능할 지 모르겠습니다; 지금 위상수학 1단원도 다 끝내지 못했는데… 그래도 요즘은 블로그 활동을 다소 줄이면서까지 시간이 있을 때는 수학 복습을 하고 있어서 그래도 가능한 한 진행하는 것이 목표입니다. 적어도 초고 정도라도 대부분 작성해둔다면 블로그에 재빨리 올릴 수는 있을 듯합니다. 여튼 3장 폐포 들어가겠습니다.
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정의 3.21
(X, τ)는 위상공간이고 A는 X의 부분집합입니다. A를 포함하는 모든 닫힌 집합들의 교집합을 A의 닫음(Closure) 또는 폐포라고 하고 cl(A) 또는
\[\bar{A}\]라고 씁니다.(다만 제가 코딩 실력이 극히 부족해서 latex 등도 정말 최소한만 사용하는 중이어서 여기서는 A*로 대체하겠습니다.) 즉,
cl(A) = ⋂{F | A ⊆ F, F는 닫힌 집합 }
입니다. 이때 cl(A)에 속하는 점을 A의 닫음점(closure point) 또는 폐포점이라 합니다.
참고 3.22 p ∈ cl(A) ⇔ A를 포함하는 모든 닫힌 집합 F에 대해 p ∈ F입니다.
정리 3.23
A의 폐포 cl(A)는 다음을 만족시킵니다.
- cl(A)는 닫힌 집합입니다.
- F가 A를 포함하는 닫힌 집합이면, A ⊆ cl(A) ⊆ F가 됩니다.
- A가 닫힌 집합이기 위한 필요충분조건은 A = cl(A)입니다.
예 3.24 집합 X = {a, b, c, d, e}에 위상 τ = {X, Ø, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e}}가 주어졌다고 가정해보겠습니다.
저기서 Ø, X. {b, c, d, e}, {a, b, e}, {b, e}, {a}가 닫힌 집합이므로,
cl(Ø) = Ø, cl({a}) = {a}, cl({b}) = {b, e}, cl({b, d}) = {b, c, d, e}
가 됩니다.
문제 3.25
- 이산공간 (ℝ, D)에서 cl(ℚ)를 구하여라.
- 비이산공간 (ℝ, ι)에서 cl(ℚ)를 구하여라.
- 여유한공간 (ℝ, Cf)에서 cl(ℚ)를 구하여라.
- 여가산공간 (ℝ, Cc)에서 cl(ℚ)를 구하여라.
풀이
- 이산공간에서는 ℚ도 닫힌 집합이므로 정의에 의해 cl(ℚ) = ℚ입니다.
- 비이산공간에서는 ℚ를 포함하는 닫힌 집합은 ℝ뿐이므로 cl(ℚ) = ℝ입니다.
- 여유한공간에서 닫힌 집합은 유한집합과 전체집합뿐입니다. 따라서 ℚ를 포함하는 닫힌 집합은 ℝ뿐입니다. 그러므로 cl(ℚ) = ℝ입니다.
- 여가산공간에서 닫힌 집합은 가산집합과 전체집합뿐입니다. 따라서 ℚ도 ℚ를 포함하는 닫힌 집합입니다. 그러므로 cl(ℚ) = ℚ입니다.
예제 3.26 무한집합 X에 대한 여유한공간 (X, Cf)에서 집합 A의 폐포 cl(A)를 구하시오.
풀이
여유한공간에서는 닫힌 집합은 유한집합과 전체집합 X뿐입니다. 따라서 A가 유한집합일 경우, A가 닫힌 집합이므로 cl(A) = A입니다. 또 A가 무한집합이면, A를 포함하는 닫힌 집합은 X뿐입니다. 결국 cl(A) = X입니다.
정리 3.27
위상공간 (X, τ)의 부분집합 A와 점 p에 대하여, 다음은 서로 동치입니다.
- p ∈ cl(A)
- p를 포함하는 임의의 열린 집합 G에 대해 G ∩ A ≠ Ø이다.
증명
(1) → (2) 점 p를 cl(A)의 원소라고 하겠습니다. 결론을 부정해서, p를 포함하는 적당한 열린 집합 G가 존재하여 G ∩ A = Ø이라 가정하겠습니다. 이럴 경우 X – G는 A를 포함하는 닫힌 집합이 되므로, 닫음의 성질에 의하여
A ⊆ cl(A) ⊆ X – G
가 됩니다. 따라서 cl(A)의 원소 p는 X – G와 G에 동시에 속해야 하므로 모순이 됩니다.
(2) → (1) 점 p가 cl(A)의 원소가 아니라 가정하겠습니다. 닫음의 정의에 의해, A를 포함하는 적당한 닫힌 집합 F가 존재하여 p ∉ F입니다. 따라서 X – F는 p를 포함하는 열린 집합이며
A ∩ (X – F) ⊆ A ∩ (X – A) = Ø
을 만족시킵니다. 즉, p를 포함하는 열린 집합 X – F가 존재하여 A ∩ (X – F) = Ø입니다. 따라서 조건 (2)에 모순이 됩니다.
참고 3.28 위 정리의 대우명제에 의해서, p ∉ cl(A)가 되기 위한 필요충분조건은 p를 포함하고 G ∩ A = Ø인 적당한 열린 집합 G가 존재하는 것입니다.
따름정리 3.29
위상공간 (X, τ)의 점 p가 부분집합 A의 극한점이면, A의 닫음점이 됩니다. 즉,
A’ ⊆ cl(A)
입니다.
증명
p ∈ A’
⇔ p를 포함하는 임의의 열린 집합 G에 대해 (G – {p}) ∩ A ≠ Ø
⇒ p를 포함하는 임의의 열린 집합 G에 대해 G ∩ A ≠ Ø
⇔ p ∈ cl(A)
문제 3.30 A가 B의 부분집합일 때, cl(A)는 cl(B)의 부분집합인가?
풀이
p ∈ cl(A)이고 G가 p를 포함하는 열린 집합이라고 하면, G ∩ A ≠ Ø입니다. 그런데 여기서 G ∩ A ⊆ G ∩ B이므로, G ∩ B ≠ Ø입니다. 따라서 p ∈ cl(B)입니다. 그러므로 cl(A)는 cl(B)의 부분집합이 됩니다.
정리 3.31
A가 위상공간 (X, τ)의 부분집합일 때, 다음 사실이 성립합니다.
cl(A) = A ∪ A’
증명
A ⊆ cl(A)이고 A’ ⊆ cl(A)이므로 A ∪ A’ ⊆ cl(A)입니다. cl(A)가 A ∪ A’ 의 부분집합임을 보이기 위해서 X – (A ∪ A’ )의 원소 p를 택하겠습니다. p가 A의 극한점은 아니므로 p를 포함하는 적당한 열린 집합 G가 존재하여 (G – {p}) ∩ A = Ø이 됩니다.
따라서 G ∩ A = {p} 또는 G ∩ A = Ø이 됩니다. 그런데 p는 A의 원소가 아니므로 G ∩ A = Ø가 됩니다. 따라서 정리 3.27에 의해서 p는 A의 닫음점이 아닙니다. 대우명제에 의해서 결과가 나옵니다.
예시 3.32 보통위상공간 (ℝ, 𝛖)에서, 유리수 집합 ℚ의 유도집합을 구하면 ℚ‘ = ℝ입니다. 따라서 ℚ의 닫음은 cl(ℚ) = ℚ ∪ ℚ‘ = ℚ ∪ ℝ = ℝ이 됩니다.
정의 3.33
위상공간 (X, τ)에서 cl(A) = X일 때, 부분집합 A가 X에서 조밀(dense)하다고 합니다.
예 3.34
- 보통위상공간 (ℝ, 𝛖)에서 ℚ는 ℝ의 조밀한 부분집합입니다.
- 이산공간 (X, D)에서 조밀한 부분집합은 전체집합 X뿐입니다.
- 비이산공간 (X, ι)에서 공집합을 제외한 X의 모든 부분집합은 X의 조밀한 부분집합입니다.
정리 3.35
위상공간의 부분집합 A, B에 대해 다음 사실이 성립합니다.
- cl(Ø) = Ø
- A ⊆ cl(A)
- cl(A ∪ B) = cl(A) ∪ cl(B)
- cl(cl(A)) = cl(A)
증명
- 공집합은 공집합을 포함하는 가장 작은 닫힌 집합이므로, 공집합의 닫음은 공집합입니다.
- 닫음의 정의에 의하여 당연히 성립합니다.
- A와 B는 A ∪ B의 부분집합이므로 cl(A)와 cl(B)는 각각 cl(A ∪ B)의 부분집합입니다. 따라서 cl(A) ∪ cl(B)는 cl(A ∪ B)의 부분집합입니다. 역으로, cl(A ∪ B)가 cl(A) ∪ cl(B)의 부분집합임을 보이겠습니다.
A ⊆ cl(A), B ⊆ cl(B)
=> A ∪ B ⊆ cl(A) ∪ cl(B)
=> cl(A ∪ B) ⊆ cl(cl(A) ∪ cl(B))
여기서 cl(A) ∪ cl(B)은 닫힌 집합이므로,
cl(cl(A) ∪ cl(B)) = cl(A) ∪ cl(B)이고,
따라서 cl(A ∪ B) ⊆ cl(A) ∪ cl(B) 입니다.
결국, cl(A ∪ B) = cl(A) ∪ cl(B)입니다.
cl(A)는 닫힌 집합이므로, 정리 3.29의 (3)에 의하여 cl(A) = cl(cl(A))입니다.
위 정리의 네 가지 조건은 쿠라토프스키 폐포공리라고 불리며, 위 네 가지 조건을 만족시키는 함수가 있으면 위상을 유일하게 정의할 수 있습니다.
