[해석학 공부] 5장. 연속함수 관련 문제

해석학 공부 5번째 시간으로 연속함수 관련 문제를 몇 가지 적어봤습니다. 중간값 정리, 균일 연속, 긴밀 집합 내용들을 간단하게 정리했습니다.
해석학 연속함수

해석학 연속함수

해석학 공부 5장 연속함수 관련 문제

들어가기 전에 : 원래 2월 말 주간까지 해석학, 현대대수학, 실함수 세 과목을 모두 정리하는 것이 목표였는데 생각보다 분량이 매우 많아서 쉽지가 않네요… 물론 제가 게으른 탓도 있겠습니다만 그래도 엄연히 각각 전공, 그것도 3학년 전공 필수 과목 하나하나이니만큼 마냥 자신을 탓하기보다는 더 열심히 정리하고 공부하자… 이런 마인드로 공부하고 있습니다. 예상보다 점점 미뤄지고 있긴 하지만 그래도 어찌어찌 정리를 하고 있는 것은 사실이니까요. 다만 앞으로 기하, 복소함수론, 위상수학 이 세 친구도 해야하는데… 이거는 조금 걱정이 되네요. 하여튼 해석학 연속함수 관련 문제들을 적어봤습니다.

Table of Contents

해석학 연속함수
[해석학 공부] 5장. 연속함수 관련 문제 1

문제 1

Suppose that f : [0, 1] → R is a function and f(0) = f(1).

Prove that f(r) = f(r + 1/2) for some r ∈ [0, 1/2].

풀이

Let g(x) = f(x + 1/2) – f(x), then g is continuous on [0, 1/2] and g(0) = -g(1/2).

If g(0) = g(1/2) = 0, then f(0) = f(1/2) = f(1). we find r = 0.

suppose g(0), g(1/2) ≠ 0. then g(0)g(1/2) < 0.

so by the Intermediate Value Theorem, ∃r ∈ (0, 1/2) s.t. g(r) = 0

Thus f(r + 1/2) = f(r) for some r ∈ [0, 1/2].

참고
  • Intermediate Value Theorem

f(a) < ∀k < f(b) ⇒ ∃ c ∈ (a, b) s.t. k = f(c)

문제 2.

Determine whether

\[f(x) = \frac{1}{1+x^{2}}\]

is uniformly continuous on (0, ∞) or not, and prove your answer.

풀이

let ε >0 be given. Take δ = ε/2, then |x – y| < δ ⇒ 

\[\mid f(x)-f(y) \mid =\mid \frac{1}{1+x^{2}} – \frac{1}{1+y^{2}}\mid =\frac{\mid x-y\mid\ \mid x+y\mid}{(1+x^{2})(1+y^{2})}\] \[\leq\mid x-y \mid\frac{\mid x \mid+ \mid y \mid}{(1+x^{2})(1+y^{2})} = \mid x-y \mid(\frac{x}{(1+x^{2})(1+y^{2})}+\frac{y}{(1+x^{2})(1+y^{2})})\] \[<\mid x-y \mid (\frac{1}{1+y^{2}} + \frac{1}{1+x^{2}}) (\because x^{2}-x+1>0)\] \[\leq 2\mid x-y \mid\ < 2\delta = ε\]
참고
  • f is uniformly continuous on A

⇔ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 s.t. |x – y| < δ

⇒ |f(x) – f(y)| < ε, ∀x, y  ∈ A

문제 3.

Let K be a compact set and f be a continuous function on K.

Prove that f is bounded.

증명

Take an arbitrary open cover of f(k). say {Gi} i ∈ I, then

\[f(k) \subseteq \bigcup_{i\in I}^{}G_{i} \Rightarrow k \subseteq f^{-1}(\bigcup_{i\in I}^{}G_{i})=\bigcup_{i\in I}^{}f^{-1}(G_{i})\]

Since f is continuous on K, f-1(Gi)’s are all open, so 

\[\bigcup_{i\in I}^{}f^{-1}(G_{i})\]

is an open cover of K.

Since K is compact, we can take a finite open cover {f-1(G1), f-1(G2), …, f-1(Gn)} of K.

Then K ⊆ f-1(G1) ∪ f-1(G2) ∪ …f-1(Gn) ⇒ f(k) ⊆ f(f-1(G1) ∪ f-1(G2) ∪ …f-1(Gn)) ⊆ G1 ∪ … ∪ Gn

Thus f(K) is compact in R and so bounded and closed. since f(k) is bounded, f is bounded.

참고
  1. 함수가 bounded ⇒ 치역이 bounded
  2. compact
    (x, τ) : topology space, k : compact
    ⇔ Every open cover of k has a finite subcover
    ⇒ k ⊆ (G1 ∪ G2 ∪ … ∪ Gn) for some n ∈ N

정의 1.

함수 f : I → ℝ은 어떤 구간 I 위에서 연속이고, 두 점 a, b ∈ I, a < b와 어떤 실수 k ∈ ℝ에 대해, f(a) < k < f(b) [또는 f(a) > k > f(b)]라고 하겠습니다. 그러면

∃c ∈ (a, b) s.t. f(c) = k

이를 중간값 정리(intermediate value theorem)이라고 합니다.

정의 2.

함수 f : X ⊂ ℝ → ℝ가 집합 X 위에서 균일연속(uniformly continuous)

⇔ ∀ ε > 0, ∃ δ = δ(ε) > 0 s.t. x, x0 ∈ X, |x-x0| < δ ⇒ |f(x) – f(x0)| < ε

정리 3.

f : X ⊂ ℝ → ℝ이라 할 때 다음은 동치입니다.

  1. f는 X위에서 균일연속이 아니다
  2. ∃ ε0 > 0 s.t. ∀ δ > 0, ∃ xδ, xδ‘ ∈ X s.t. |xδ – xδ‘| < δ이지만 |f(xδ) – f(xδ‘)| ≥ ε0이다.
  3. ∃ ε0 > 0, {xn}, {xn‘} ⊂ X s.t. |xn – xn‘| → 0이지만 |f(xn) – f(xn‘)| ≥ ε0, ∀ n ∈ N이다.

정의 3.

집합 K ⊂ ℝ이 ℝ에서 긴밀하다(compact)라고 하는 것은 K의 임의의 열린 덮개(open cover) {Gα}가 유한부분덮개(finite subcover)를 가질 때, 즉 K의 임의의 열린 덮개 {Gα}에 대해

∃{Gα1, … , Gαk} ⊂ {Gα} s.t. K ⊂ Gα1 ∪ … ∪ Gαk

일 경우를 말합니다.

참고

ℝ의 열린 집합들의 임의의 족 {Gα}이 어떤 집합 K ⊂ ℝ의 열린 덮개(open cover)이다

⇔ K ⊂ ∪αGα

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