등거리공간
위상수학 공부 16. 등거리공간.
이게 위상수학이 은근히 페이지로 보면 짧지만 그 안에 내용들 하나하나가 너무 어려워서 저는 단순히 거의 옮겨적는 수준임에도 불구하고 시간을 참 많이 소모하게 됩니다. 그만큼 머리에 들어왔으면 좋겠습니다… 이번에는 등거리공간과 관련해서 공부한 내용들을 적어봤습니다.
Table of Contents
정리 6.26
X의 거리함수 d와 d*가 같은 위상공간을 유도할 때 d와 d*를 서로 동치(equivalent)라고 합니다. 즉, d에 의하여 생성된 열린 공들로 이루어진 기저와 d*에 의하여 생성된 열린 공들로 이루어진 기저가 X의 같은 위상을 유도할 때 d와 d*는 동치입니다.
∉
예 6.27
앞서 예 6.2에서 살펴본 ℝ2의 거래 함수 d, d1, d2는 보통위상을 유도합니다. 따라서 이들 3개의 거리함수는 서로 동치입니다.
예 6.28
d가 다음과 같이 주어진 X의 거리함수입니다.
d(a, b) = 2 (a ≠ b일 때), 0(a = b일 때)
열린 공 Sd(p, 1) = {p}이므로 모든 한원소집합은 열린 집합이고, 따라서 d에 의해 유도된 거리공간은 이상공간입니다. 즉 d와 이산거리함수는 서로 동치입니다.
예 6.29
이산공간은 이산거리함수에 의하여 유도될 수 있고, 보통위상공간은 보통거리함수에 의하여 유도될 수 있습니다.
예 6.30
집합 X = {a, b}의 위상 𝞣 = {X, ∅, {a}}가 주어졌을 때 유한집합 {a}는 닫힌 집합이 아닙니다. 따라서 따름정리 6.19에 의해 이 위상공간은 거리함수에 의해 유지되는 위상공간이 아닙니다.
예 6.31
두 개 이상의 원소로 이루어진 비이산공간의 경우 닫힌 집합은 전체집합과 공집합밖에 없는데, 따름정리 6.19에 의하면 거리공간의 모든 유한부분집합은 닫힌 집합이어야 합니다. 그러므로 이 공간을 유도해내는 거리함수는 존재하지 않습니다.
정의 6.32
두 거리공간 (X, d)와 (Y, e)에서 p, q ∈ x에 대하여
d(p, q) = e(f(p), f(q))
가 되는 전단사함수 f : X → Y가 존재할 때, 거리공간 (X, d)는 거리공간 (Y, e)와 등거리(isometric)라고 하며,
(X, d) ≡ (Y, e)
로 씁니다. 이때 함수 f를 등거리함수(isometry)라 합니다. (X, d) ≡ (Y, e) 일 때, X의 두 점 사이의 거리와 그 두 점에 대한 Y에서의 함숫값들 사이의 거리는 같습니다.
정리 6.33
두 거리공간 (X, d)와 (Y, e)가 등거리이면 위상동형입니다. 즉, (X, d) ≡ (Y, e)이면 (X, d)와 (Y, e)는 위상동형입니다.(위상동형 기호(≅) 가 안보이네요… 크흠… 제주고딕이 이런 문제가…)
증명
(X, d) ≡ (Y, e)이므로 전단사함수 f : X → Y가 존재하여,
d(p, q) = e(f(p), f(q)) (p, q ∈ X)
가 됩니다. f가 열린 함수임을 보이기 위하여, G가 X의 임의의 열린 부분 집합일 때 f(G)도 역시 Y의 열린 부분집합임을 보이겠습니다. f(G)의 임의의 원소 y에 대하여 G의 원소 p가 존재하여 y = f(p)가 됩니다. G는 열린 집합이므로, p ∈ Sd(p, δ) ⊆ G인 양수 δ가 존재합니다. 따라서 f(p) ∈ f(Sd(p, δ)) ⊆ f(G) 가 열린 집합임을 보이면 됩니다.
f(Sd(p, δ) = {f(q) | q ∈ Sd(p, δ)}
= {f(q) | d(p, q) < δ}
= {f(q) | e(f(p), f(q)) < δ}
= Se(f(p), δ)
= Se(y, δ)
따라서 f(Sd(p, δ)는 열린 집합입니다. 마찬가지 방법으로 f가 연속함수임을 보일 수 있습니다. 따라서 f는 위상동형함수입니다.
예 6.34
X가 둘 이상의 원소를 포함하는 집합이라 하겠습니다. 예 6.28의 거리함수를 d라 하고 이산거리함수를 d*라 하면 공간 (X, d)와 (X, d*)는 둘 다 이산공간으로서 (X, d)와 (X, d*)는 위상동형이지만, (X, d) ≡ (X, d*)는 아닙니다. 따라서 위 정리의 역은 성립하지 않습니다.
