[위상수학 공부] 2장. 위상공간 (2) 극한점

위상수학 공부 2장. 극한점

들어가기 전에: 저번 포스트에도 언급했습니다만 저번 학기에 위상수학 공부했던 책의 내용을 나름대로 적는 중입니다. 일단 제 졸업시험 공부를 위해서 적는 중이긴 합니다만 상상 이상으로 한땀 한땀 거의 끼워 넣는 수준이라서 매우 귀찮습니다만 어쩔 수 없죠; 실제로도 비효율적인 것같기도 합니다. 그래도 책 보고, 공부 내용 블로그에 초고 적고, 기호로 바꾸고, 검토하고 하는 과정에서 이 위상수학 내용들을 계속 보게 되니 암기가 되는 것같기도 하고… 뭐 어쨌든 결과가 좋기를 바랄 뿐입니다. 공부해야죠ㅠㅠ 여튼 이런 마음으로 평소에는 귀찮아서 안하다가도 날잡고 각잡고 포스팅을 합니다. 위상수학 2장, 극한점입니다.

Table of Contents

• 위상수학 공부 2장. 극한점
  • 정의 3.11
    • 예제 3.13
    • 예제 3. 14
    • 예제 3.15
  • 정의 3.16
    • 예 3.17
  • 정리 3.19
  • 정리 3.20

정의 3.11

(X, τ)는 위상공간이고 A ⊆ X이며 p는 X의 점입니다. p를 포함하는 임의의 열린 집합 G에 대해서

(G-{p}) ∩ A ≠ Ø

일 때, 점 p를 집합 A의 극한점(limit point)이라고 부릅니다. A의 극한점들을 모두 모은 집합을 A의 유도집합(derived set)이라고 부르며, A′로 씁니다.

예 3.12. (ℝ, U)에서 A=(0, 1)이면 A′ = [0, 1]이고, B = [0, 1]이면 B′ = [0. 1]입니다.

예제 3.13

집합 X = {a, b, c, d, e} 위에 위상 τ = {X, Ø, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e}}가 주어져 있을 때 A = {a, b, c}의 유도집합을 구하시오.

a를 포함하는 열린 집합 {a}가 ({a} – {a}) ∩ A = Ø 이므로, a는 A의 극한점이 아닙니다.

b를 포함하는 열린 집합 X와 {b, c, d, e}는 b를 제외해도 A와 공유점이 있으므로, b는 A의 극한점입니다.

c를 포함하는 열린 집합 {c, d}에서 c를 제외하면 A와 공유점이 없으므로, c는 A의 극한점이 아닙니다.

d를 포함하는 모든 열린 집합은 d를 제외해도 A와 공유점이 있으므로, d는 A의 극한점입니다.

e를 포함하는 모든 열린 집합도 e를 뺀 차집합이 A와 만나므로, e는 A의 극한점입니다.

따라서 A의 유도집합 A′는 {b, d, e}입니다.

예제 3. 14

(X, ι)는 비이산공간이다. X의 진부분집합 A에 대해 유도집합을 구하시오.

A가 공집합인 경우, 당연히 유도집합 A′ = Ø입니다.

A가 한원소집합일 때, 가령 A = {x}일 경우, x를 포함하는 열린 집합 X를 생각하면 (X – {x}) ∩ {x} = Ø이므로 x ∉ A′입니다. 이제 p ≠ x일 경우를 생각하면 점 p를 포함하는 열린 집합은 X뿐입니다. 따라서 (X – {p}) ∩ {x} ≠ Ø가 되어서 점 p는 A의 극한점이 됩니다.

 A가 두 점 이상일 때는, 임의의 점 p에 대해서 이 점을 포함하는 열린 집합은 X뿐입니다. 따라서 (X – {p}) ∩ A ≠ Ø가 되어서 점 p는 A의 극한점이 됩니다.

위의 내용을 요약하면 이렇게 쓸 수 있습니다.

1. A′ = Ø (A = Ø일 때)
2. A′ = X – {x} (A = {x}, A가 한원소집합일 때)
3. A′ = X (그 외의 경우, 즉 |A| ≥ 2인 경우)

예제 3.15

집합 X = ℝ에 위상 τ = {X, Ø, [0, 1]}가 주어졌을 때 부분집합 A = {2}의 유도집합을 구하시오.

1. [0, 1]의 임의의 점 p에 대해서, 구간 [0, 1]은 점 p를 포함하는 열린 집합이고 ([0, 1] – {p}) ∩ A = Ø이므로 p는 A의 극한점이 아닙니다.
2. p = 2일 경우, p를 포함하는 열린 집합은 X뿐이므로 (X – {p}) ∩ A = Ø가 됩니다. 그러므로 점 p는 A의 극한점이 되지 못합니다.
3. X – ([0, 1] ⋃ {2})에 포함되는 점 p를 생각하면, p를 포함하는 열린 집합은 X뿐이므로 (X – {p}) ∩ A ≠ Ø가 되므로, 점 p는 A의 극한점이 됩니다.

따라서 A′ = X – ([0, 1] ⋃ {2})입니다.

일반적으로 A의 유도집합 A′는 A의 부분집합이 아닙니다.

정의 3.16

(X, τ)는 위상공간이고, A는 X의 부분집합이다. A의 여집합 X-A가 열린 집합일 때, A를 닫힌 집합(closed set)이라고 합니다.

예 3.17

집합 X = {a, b, c, d, e} 위에 위상 τ={X, Ø, {a}}, {c, d}, {a, c, d}. {b, c, d, e}}가 주어졌다고 하겠습니다. 이 때 X의 닫힌 부분집합은 Ø, X. {b, c, d, e}, {a, b, e}, {b, e}, {a}입니다.

즉, τ의 원소들의 여집합이 닫힌 집합입니다. 여기서 X, Ø, {a}, {b, c, d, e}등은 열린 집합인 동시에 닫힌 집합이며, {a, b}는 열린 집합도 아니고 닫힌 집합도 아닙니다.

예 3.18. 이산공간에서는 모든 집합이 열린 집합이므로, 모든 집합이 닫힌 집합이라고도 할 수 있습니다.

정리 3.19

(X, τ)가 위상공간일 때, 닫힌 집합들은 다음을 만족시킵니다.

1. X와 τ는 닫힌 집합입니다.
2. 닫힌 집합들의 임의의 교집합은 닫힌 집합입니다.
3. 닫힌 집합 두 개의 합집합은 닫힌 집합입니다.

정리 3.20

(X, τ)가 위상공간일 때, X의 부분집합 A가 닫힌 집합이 되기 위한 필요충분조건은 A′ ⊆ A입니다.

• 증명

A가 닫힌 집합이고 p ∉ A라고 하면, p ∈ A^c이고 A^c는 열린 집합입니다. 그런데 여기서

(A^c – {p}) ∩ A ⊆ A^c ∩ A = Ø

가 됩니다. 결국 p를 포함하는 열린 집합 A^c가 존재해서 (A^c – {p}) ∩ A = Ø이므로 p ∉ A′입니다.

역으로 A′ ⊆ A일 때 A가 닫힌 집합임을 보이기 위해서 X-A가 열린 집합임을 보이고자 합니다. X-A가 공집합이면 당연히 열린 집합이므로 A는 닫힌 집합입니다.

X-A가 공집합이 아니라고 가정하겠습니다. X-A의 임의의 한 점 p를 택하면, A′ ⊆ A라는 가정에 의하여 p는 A의 극한점이 아닙니다. 따라서 p를 포함하는 적당한 열린 집합 G_p가 존재하여, (G_p – {p}) ∩ A = Ø 입니다. 따라서

G_p ∩ A = Ø 또는 G_p ∩ A = {p}

가 됩니다. 그러나 p가 A의 원소가 아니므로, G_p ∩ A = Ø 입니다. 즉, G_p ⊆ X – A입니다.

X-A의 모든 원소 p에 대하여 위 식을 만족시키므로,

X – A ⊆ U{G_p l p ∈ X – A} ⊆ X – A

이고, 따라서 집합

X – A = U {G_p l p ∈ X – A}

는 열린 집합들의 합집합이므로 열린 집합입니다. 그러므로 A는 닫힌 집합입니다.