국소기저, 부분 공간
위상수학 공부 8장. 국소기저, 부분 공간
아직 갈 길이 참 많이 나았는데요, 그래도 조금씩 쓰고 있습니다. 개인적으로 이번 달안에 시험범위만큼 다 쓰는 것이 목표입니다. 지금 부분까지 겨우 4장이고, 앞으로 5, 6, 7, 8, 9장이나 더 남았네요… 이 효율 떨어지는 짓을… 그래도 제 공부도 하면서 블로그 활동도 한다는 이 생각만으로 꾸역꾸역 하고 있습니다. 이번에는 국소기저, 부분 공간에 대해서 공부한 내용들을 적어봤습니다.
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제3절 국소기저
정의 4.22
p는 위상 공간 (X, Τ)의 한 점이고, Βp는 p를 포함하는 열린 집합들의 모임입니다. 이때 p를 포함하는 임의의 열린 집합 G에 대해
p ∈ B ⊆ G
인 Βp의 원소 B가 적어도 하나 존재하면, Βp를 p의 국소 기저라고 합니다.
정리 4.23
Β는 위상공간 (X, Τ)의 기저이고, p는 X의 점입니다. Β의 원소들 중에서 p를 포함하는 모든 원소들로 이루어진 집합은 p의 국소기저가 됩니다.
예제 4.24
위상공간 (X, Τ)의 p가 X의 부분집합 A의 극한점이기 위한 필요 충분 조건은 p의 국소기저의 임의의 원소 Bp가
(Bp – {p}) ∩ A ≠ ∅
을 만족시키는 것입니다. 이를 증명하시오.
풀이
p ∈ A’라 하겠습니다. p의 국소기저의 임의의 원소 Bp도 열린 집합이므로 (Bp – {p}) ∩ A ≠ ∅입니다. 역으로 G가 p를 포함하는 임의의 열린 집합이라고 하겠습니다. 그러면 적당한 p의 국소기저의 원소 Bp가 존재하여 p ∈ Bp ⊆ G입니다. 따라서
∅ ≠ (Bp – {p}) ∩ A ⊆ (G – {p}) ∩ A
입니다. 이는 곧 (G – {p}) ∩ A ≠ ∅이므로 p ∈ A’입니다.
예제 4.25
위상 공간 (X, Τ)의 수열 < an >이 p로 수렴하기 위한 필요충분조건은 p의 국소기저의 임의의 원소 Bp가 < an > 의 유한 개를 제외한 나머지 모든 항을 다 포함하는 것입니다. 이를 증명하시오.
풀이
수열 < an > 이 p로 수렴하면, p의 국소기저의 임의의 원소 Bp도 열린 집합이므로, Bp가 < an > 의 유한 개를 제외한 나머지 모든 항을 포함합니다. 역으로 G가 p를 포함하는 임의의 열린 집합이라 하겠습니다. 그러면 적당한 p의 국소기저의 원소 Bp가 존재하여 p ∈ Bp ⊆ G가 됩니다. 그런데 가정에 의하여 Bp가 < an >의 유한 개를 제외한 나지 모든 항을 포함하므로, G도 < an >의 유한 개를 제외한 나머지 모든 항을 포함합니다. 따라서 < an > 이 p로 수렴합니다.
제4절 부분 공간.
정의 4.26
Y는 위상공간 (X, Τ)의 ∅이 아닌 부분 집합입니다.
ΤY = {G ∩ Y | G ∈ Τ}
를 Y의 상대 위상 또는 부분 위상이라고 부르며 (Y, ΤY)를 X의 부분공간이라고 합니다.
예제 4.27
위 정의에 주어진 ΤY는 실제로 Y의 위상입니다. 이를 보이시오.
(1) ∅ = ∅ ∩ Y ∈ ΤY이고 Y = X ∩ Y ∈ ΤY입니다.
(2) Hα ∈ ΤY이라 하면 적당한 Gα ∈ ∪가 존재하여 Hα = Gα ∩ Y입니다. 따라서 ∪Hα = ∪(Gα ∩ Y) = (∪Gα) ∩ Y입니다. 그런데 ∪Gα ∈ ∪이므로 ∪Hα ∈ ΤY입니다.
(3) U, V ∈ ΤY라고 하면 적당한 G, H ∈ Τ가 존재하여 U = G ∩ Y, V = H ∩ Y입니다. 따라서 U ∩ V = (G ∩ Y) ∩ (H ∩ Y) = (G ∩ H) ∩ Y입니다. 그런데 G ∩ H ∈ Τ이므로 U ∩ V ∈ ΤY입니다.
예 4.28
(1) 위상
Τ = {X, ∅, {a}, {c. d}, {a, c, d}, {b, c, d, e}}
가 집합 X = {a, b, c, d, e}에 주어졌을 때 부분 집합 Y = {a, d, e} 를 생각하겠습니다. 집합 Y에 대한 부분 위상을 구하면
ΤY = {Y, ∅, {a}, {d}, {a, d}, {d, e}}
입니다.
(2) 보통위상공간 (ℝ, U)에서 부분집합 Y = [0, 2)를 생각하겠습니다. 이 경우 [0, 1)은 부분공간 (Y, UY)에서 열린 집합입니다. 왜냐하면 [0, 1) = (-1, 1) ∩ Y이고 (-1, 1)은 ℝ에서 열린 집합이기 때문입니다. 또한 여집합이 열린 집합이므로 [1, 2)는 부분 공간에서 닫힌 집합이 됩니다.
(3) 보통이상공간 (ℝ, U)에서 에서 부분 집합 Y = [3, 5)를 생각하겠습니다. 부분 공간 (Y, UY)에서 [3, 4)는 열린 집합이고 [4, 5)는 닫힌 집합입니다.
예 4.29
보통위상공간 (ℝ, U)에서 부분집합 Y = [3, 5] ∪ {7}를 생각하겠습니다. 이 경우 한원소집합 {7}은 부분공간 (Y, UY)에서 열린 집합입니다. 왜냐하면 {7} = (6, 8) ∩ Y이고 (6, 8)은 ℝ에서 열린 집합이기 때문입니다. 또한 [3, 5] = (2, 6) ∩ Y이므로 집합 [3, 5]는 부분공간에서 열린 집합입니다. 따라서 그 여집합 {7}은 부분공간에서 닫힌 집합도 됩니다.
예제 4.30
보통위상공간 (ℝ, U)에서 부분공간 (ℕ, Uℕ)을 구하시오.
풀이
임의의 점 p ∈ ℕ에 대해서 (p – 1/2, p + 1/2)는 (ℝ, U)에서 열린 집합이고
{p} = ℕ ∩ (p – 1/2, p + 1/2)
이 되므로 {p}는 부분 공간 (ℕ, Uℕ)에서 열린 집합입니다. 모든 한원소집합이 열린 집합이 되므로 (ℕ, Uℕ)은 이산공간이 됩니다.
정리 4.31
위상 공간 (X, Τ)의 부분 공간 (Y, ΤY)에 대해 다음 사실이 성립합니다.
(1) H가 Y의 열린 집합이다. ↔ H = G ∩ Y인 X의 열린 집합 G가 존재합니다.
(2) K가 Y의 닫힌 집합이다. ↔ K = F ∩ Y인 X의 닫힌 집합 F가 존재합니다.
증명
(1) 정리에 의해 성립합니다.
(2) K가 (Y, ΤY)에서 닫힌 집합이라 하면 적당한 X의 열린 집합 U가 존재하여 Y – K = Y ∩ U입니다. 전체 집합 X에서의 집합 A의 여집합을 Ac로 나타내기로 하면
K = Y – (Y – K) = Y – (Y ∩ U) = Y ∩ (Y ∩ U)c
= Y ∩ (Yc ∪ Uc) = (Y ∩ Yc) ∪ (Y ∩ Uc) = Y ∩ Uc
이제 Uc = F라 하면 F는 X에서 닫힌 집합이고 K = Y ∩ F 입니다.
역으로 X의 적당한 닫힌 집합 F에 대해 K = Y ∩ F라 하면 Fc는 X의 열린 집합이고
Y – K = Y – (Y ∩ F) = Y ∩ (Y ∩ F)c
= Y ∩ (Yc ∪ Fc) = (Y ∩ Yc) ∪ (Y ∩ Fc) = Y ∩ Fc
그런데 Fc는 X에서 열린 집합이므로 Y − K = Y ∩ Fc는 (Y, ΤY)에서 열린 집합입니다. 결국 K는 (Y, ΤY)에서 닫힌 집합이 됩니다.
예 4.32
(1) (-√2, √2) ∩ ℚ = [-√2, √2] ∩ ℚ이므로, 이 집합은 (ℚ, Uℚ)에서 열린 집합이면서 동시에 닫힌 집합이 됩니다.
(2) 보통위상공간 ℝ의 부분공간 (ℚ, Uℚ)에서 {0} ∩ ℚ = {0}이고 {0}이 ℝ에서 닫힌 집합이므로, 집합 {0}은 (ℚ, Uℚ)에서 닫힌 집합이 됩니다.
(3) (a, b) ∩ ℚ = {0}인 ℝ의 열린 집합 (a, b)가 없으므로 {0}은 (ℚ, Uℚ)에서 열린 집합이 아닙니다. 따라서 (ℚ, Uℚ)는 이산위상이 아닙니다.
예 4.33
Y를 (X, Τ)의 부분공간이라 하겠습니다. G가 부분공간 Y에서 열린 집합이고, Y가 X에서 열린 집합이면, G는 X에서 열린 집합임을 보이시오.
풀이
G가 부분 공간 Y에서 열린 집합이므로 G = H ∩ Y의 열린 집합 H가 존재합니다. 그런데 Y도 X에서 열린 집합이므로 G = H ∩ Y는 X에서 열린 집합이 됩니다.
예 4.34
Y가 열린 집합이 아닐 경우에는 위 예제의 내용이 성립하지 않습니다. 보통위상공간 ℝ2의 부분 집합
A = {(x, y) ∈ ℝ2 | y = 0}
를 생각해보겠습니다. A의 부분 집합 (0, 1) X {0}은 A에서 열린 집합입니다. 그런데 ℝ2에서 (0, 1) X {0}은 모든 점이 내점이 아니므로 ℝ2에서 열린 집합이 아닙니다. 실제로 집합 A가 ℝ2에서 열린 집합이 아니므로 이런 현상이 나타납니다.
예제 4.35
Y를 (X, Τ)의 부분 공간이라 하겠습니다. F가 부분공간 Y에서 닫힌 집합이고 Y가 X에서 닫힌 집합이면, F는 X에서 닫힌 집합임을 보이시오.
풀이
F가 부분 공간에서 닫힌 집합이므로 F = K ∩ Y인 X의 닫힌 집합 K가 존재합니다. 그런데 Y도 X에서 닫힌 집합이므로 F = K ∩ Y는 X에서 닫힌 집합입니다.
예 4.36
보통위상공간 ℝ2의 부분집합인
A = {(x, y) ∈ ℝ2 | y = 0}
는 닫힌 집합입니다. 또한 A의 부분집합 [0, 1] X {0}은 A에서 닫힌 집합이므로 이는 곧 ℝ2에서도 닫힌 집합입니다.
정리 4.37
Y가 X의 부분집합이고, Β가 위상 공간 (X, Τ)의 기저이면
ΒY = {B ∩ Y | B ∈ Β}
는 부분공간 (Y, ΤY)의 기저가 됩니다.
증명
임의의 점 a ∈ Y와 a를 포함하는 부분공간의 임의의 열린 집합 G를 생각하겠습니다. 부분공간의 정의에 의해 G = H ∩ Y인 임의의 열린 집합 H가 존재합니다. 따라서 a ∈ H이므로
a ∈ B ⊆ H
인 Β의 원소 B가 존재합니다. 그러므로
a ∈ B ∩ Y ⊆ H ∩ Y
이고 B ∩ Y ∈ ΒY입니다. 따라서 ΒY가 부분공간의 기저가 됩니다.
정리 4.38
(Y, ΤY)가 위상공간 (X, Τ)의 부분공간이고 E가 Y의 부분공간일 때 다음 사실이 성립합니다.
(1) (ē)Y = Y ∩ ē
(2) (Eº)Y ⊇ Y ∩ Eº
예 4.39
Y = (0, 1) ∪ (2, 3)을 (ℝ, U)의 부분공간이라 하겠습니다. A = (0, 1/2)라 할 때 전체공간 ℝ에서의 폐포 ā를 구하면
ā = [0, 1/2]
이고, (0, 1/2]이 부분공간 Y에서 A를 포함하는 제일 작은 닫힌 집합이므로
(ā)Y = (0, 1/2]
입니다. 따라서 위 정리와 같이
(ā)Y = (0, 1/2] = ā ∩ Y
임을 알 수 있습니다.
예 4.39
위 정리에서 페포와는 다르게 부분 공간의 내부에 대해서는 일반적으로 등호가 성립하지 않습니다. 실제로
Y = {(x, y) ∈ ℝ2 | y = 0}
을 보통위상공간 (ℝ2, U)의 부분공간이라 하고, E = Y를 생각하면 Eº = ∅이지만, (Eº)Y = Y이므로, (Eº)Y = Y ≠ ∅ = Y ∩ Eº입니다.
