[위상수학 공부] 7장. 부분기저.

부분기저

위상수학 공부 7장. 부분기저

일도 그렇게 많이 하진 않는 듯한데 그것치고는 정말 시간이 부족합니다. 그러면서도 어느새 1월이 슬슬 끝나서 설이 오고 있네요… 갈 길이 먼데 짬내서 조금씩이지만 꾸준하게 하겠습니다… 위상수학 공부 7장으로 부분기저에 대해서 공부한 내용을 적어봤습니다.

Table of Contents

• 위상수학 공부 7장. 부분기저
  • 정리 4.11
    • 증명
    • 예 4.12
    • 예 4.13
    • 예제 4.14
      • 풀이
    • 예제 4.15
      • 풀이
  • 제2절 부분기저
  • 정의 4.16
    • 예 4.17
    • 예 4.18
  • 정리 4.19
    • 증명
    • 예 4.20
    • 예제 4.21
      • 풀이

정리 4.11

Β와 Β’를 각각 집합 X의 위상 Τ와 Τ’의 기저라 하겠습니다. 그러면 다음 두 명제는 동치가 됩니다.

(1)  Τ’이 Τ보다 큰(finer) 위상입니다.

(2) 임의의 x ∈ X와 이 점을 포함하는 임의의 기저의 원소 B ∈ Β에 대해

x ∈ B’ ⊆ B인 B’ ∈ Β’가 존재합니다.

증명

(1) → (2) x ∈ X이고 B ∈ Β로서 x ∈ B라고 하겠습니다. 기저의 정의에 의해 B ∈ Τ입니다. 그런데 Τ ⊆ Τ’이므로 B ∈ Τ’입니다. Τ’는 Β’에 의해 생성되므로 x ∈ B’ ⊆ B인 B’ ∈ Β’가 존재합니다.

(2) → (1) U ∈ Τ라고 하겠습니다. 임의의 점 x ∈ U를 택하면 Β가 Τ의 기저이므로 x ∈ B ⊆ U인 B ∈ Β가 존재합니다.  조건 (2)에 의해서 x ∈ B’ ⊆ B인 B’ ∈ Β’가 존재합니다. 따라서 x ∈ B’ ⊆ U가 되어서 U ∈ Τ’입니다.

예 4.12

(1) ℝ의 모든 반열린 구간들의 집합

Β = {[a, b) | a, b ∈ ℝ, a < b}

를 생각하겠습니다. Β의 원소의 합집합은 ℝ이 되고, 반열린 구간들의 교집합은 공집합이거나 반열린 구간이 되므로, 기저가 되기 위한 두 조건을 만족시킵니다. Β에 의해 생성되는 위상을 ℝ의 아래끝 위상(Lower limit topology)이라고 하고, L_ι이라고 씁니다.

(2) (-∞, a), [a, b), [a, ∞) 등은 아래끝 위상에서 열린 집합입니다. 또한 이들의 여집합이 열린 집합이므로, 이들은 모두 닫힌 집합입니다.

(3) (a, b) = ∪_{t∈(a, b)} [t, b)이므로 (a, b), (a, ∞) 등은 아래끝 위상에서 열린 집합입니다. 그러나 이들은 닫힌 집합이 아닙니다.

예 4.13

마찬가지로 집합

Β* = {(a, b] | a, b ∈ ℝ, a < b}

는 ℝ의 위상을 생성하는데, 이 위상을 위끝 위상(upper limit topology)라고 하고, U_ι로 표시합니다.

예제 4.14

ℝ의 위상 U, U_ι, L_ι의 크기를 비교하여라

풀이

(1) (a, b) ∈ U이면,

(a, b) = ∪_{t∈(a, b)} [t, b)

이 되므로, (a, b) ∈ L_ι이 됩니다. 그런데 [0, 1) ∈ L_ι이지만 [0, 1) ∉ U입니다. 따라서 U ⊊ L_ι입니다.

(2) (a, b) ∈ U이면,

(a, b) = ∪_{t∈(a, b)} (a, t]

이 되므로, (a, b) ∈ U_ι이 됩니다. 그런데 (0, 1] ∈ U_ι이지만 (0, 1] ∉ U입니다. 따라서 U ⊊ U_ι입니다.

예제 4.15

Β가 위상공간 (X, Τ) 의 기저일 때 위상 Τ는 Β를 포함하는 X의 모든 위상들의 교집합임을 증명하시오.

풀이

{Τ_i}_i∈J가 Β를 포함하는 X의 모든 위상들의 집합이라 하고,

Τ* = ∩_i∈JΤ_i

라고 하겠습니다. 정의에 의해 Τ는 Β를 포함하는 위상이고 Τ*는 그러한 위상들의 교집합이므로 Τ* ⊆ Τ입니다. 이제 G ∈ Τ라고 가정하겠습니다. 그러면 Τ의 정의에 의해 G = ∪_k∈JB_k이고, 이때 B_k ∈ Β입니다. 그러나 Β ⊆ Τ*이므로 모든 k ∈ J에 대해서 B_k ∈ Τ*입니다. 따라서 G = ∪_k∈JB_k ∈ Τ*입니다. 그러므로 G ∈ Τ이면 G ∈ Τ*입니다. 즉 Τ ⊆ Τ*이 됩니다. 따라서 Τ=Τ*이 됩니다.

제2절 부분기저

정의 4.16

(X, Τ)는 위상 공간이고 S ⊆ Τ입니다. S의 유한 개의 원소들의 교집합들을 모두 모아놓은 집합이 Τ의 기저가 될 때 S 를 Τ의 부분기저라고 하며, 위상 Τ가 부분기저 S에 대해 생성되었다고 합니다. 즉 임의의 원소 B를 기저 Β에서 택하면 S의 적당한 유한 부분 집합 S*가 존재하여

B = ∩S*

이 될 때, S를 부분기저라고 합니다.

예 4.17

보통 위상공간 (ℝ, U)의 기저 Β = {(a, b) | a, b ∈ ℝ, a < b}의 원소인 열린 구간 (a, b)는 두 개의 무한 열린 구간의 교집합입니다. 즉 (a, b) = (a, ∞) ∩ (-∞, b)이 됩니다. 따라서 무한 열린 구간들의 집합

S = {(a, ∞) | a ∈ ℝ} ∪ {(-∞, b) | b ∈ ℝ}

는 보통위상 U의 부분기저가 됩니다.

예 4.18

(1) 아래끝 위상공간 (ℝ, L_ι)에서

S = {(-∞, b) | b ∈ ℝ} ∪ {[a, ∞) | a ∈ ℝ}

는 부분기저가 됩니다.

(2) 위끝 위상공간 (ℝ, U_ι)에서

S = {(-∞, b] | b ∈ ℝ} ∪ {(a, ∞) | a ∈ ℝ}

는 부분기저가 됩니다.

정리 4.19

S가 공집합이 아니면서 P(X)의 부분집합이면 S는 항상 적당한 위상 공간 (X, Τ)의 부분기저가 됩니다.

증명

S의 임의의 유한 개의 원소들의 교집합으로 이루어진 집합이 X의 위상을 생성하는 기저가 됨을 보이면 됩니다. 즉,

Β = {∩S* | S*는 S의 유한부분집합}

이 정리 4.8의 두 조건을 만족시킴을 알 수 있습니다.

예 4.20

X = {a, b, c, d}고 S = {{a, b}, {b, c}, {d}}입니다. S의 원소들의 유한 개의 교집합들을 모두 모아놓으면 다음과 같다.

Β = {{a, b}, {b, c}, {d}, {b}, ∅, X}

Β의 모든 원소들의 합집합은 X이고, 이는 곧 정리 4.8의 조건 (2)도 성립합니다. 따라서 Β는 X의 위상을 생성하는 기저이고, S는 그 부분기저가 됩니다.

예제 4.21

S가 X의 위상 Τ를 생성하는 부분기저이면, Τ는 S를 포함하는 모든 위상들의 교집합임을 보이시오.

풀이

Τ*가 S를 포함하는 모든 위상들의 교집합이라 하겠습니다. 그러면 S ⊆ Τ이므로 Τ* ⊆ Τ입니다. 역으로 임의의 G ∈ Τ는 S의 유한 개의 원소들의 교집합과 그것들의 합집합으로 표시되므로, G가 S를 포함하는 모든 위상의 원소입니다. 따라서 Τ⊆ Τ* 이 됩니다.