상한, 하한
해석학 공부 1장. 상한, 하한, 유계 관련 문제
들어가기 전에 : 졸업시험을 대비해서 수학 공부한 내용들을 정리해서 블로그에 적고 있습니다. 물론 블로그에 적으면 시간이 몇 배가 되기에 효율은 나빠집니다만, 블로그 활동도 덤으로 하고, 블로그에 적는 과정에서 몇번 더 본다는 생각으로 진행하고 있습니다. 제가 조금씩 적고 있던 위상수학은 졸업시험 범위가 사실상 책 거의 절반… 이라서 거의 노가다 수준으로 책을 죄다 옮겨적는 수준으로 블로그에 적고 있지만, 나머지 과목은 교수님이 주신 연습문제와 관련 문제를 풀고 그와 관련된 개념을 적는 정도로만 하고자 합니다.
물론 사실 수학은 개념부터 차근차근 적는 것이 당연히 바람직하지만 제가 그렇게 실력이 좋지 않기도 하고, 무엇보다 제게 가장 중요한 졸업시험이 1달여밖에 남지 않아서; 그 사이에 무려 5과목을 최대한 정리하려면 이 수밖에는 없네요… 그래도 마냥 문제 적고 땡은 하지 않고자 합니다. 여튼 해석학 상한 하한 유계부터 차근차근 정리해보고자 합니다.
- 제 실력이 부족해서가 가장 큽니다만, 워드프레스가 수식을 적기에 사실 좋은 환경이 아닙니다. 그래서 MathML등 코딩은 최소한으로 하고자 합니다. 양해바랍니다.
Table of Contents
문제 1.
Find sup E for E =
\[\left\{\left(-1\right)^{n+1}-\frac{2}{n}\right\}\]and justify your answer.
풀이
Sup E = 1
(∵)
- ∀ x ∈ E, x ≤ 1
(∵) For odd n, x = 1 – 2/n ≤ 1 & for even n, x = -1 – 2/n ≤ 1 - ∀ ε ＞ 0, ∃ x ∈ E such that x ＞ 1 – ε
(∵) Let ε ＞ 0 be given
Take odd n ＞ 2/ε, then 1 – 2/n ＞ 1 – ε and 1 – 2/n ∈ E
변형문제 1.
Find inf E for E =
\[\left\{\left(-1\right)^{n+1}+\frac{2}{n}\right\}\]and justify your answer.
풀이
inf E = -1
(∵)
- ∀ x ∈ E, x ≥ -1
(∵) For odd n, x = 1 + 2/n ≥ -1 & for even n, x = -1 + 2/n ≥ -1 - ∀ ε ＞ 0, ∃ x ∈ E such that x ＜ -1 + ε
(∵) Let ε ＞ 0 be given
Take odd n ＞ 2/ε, then -1 + 2/n ＜ -1 + ε and -1 + 2/n ∈ E
문제 2.
Prove that convergent sequence {an} is bounded.
풀이
Let {an} → a, then ∃N ∈ ℕ s.t. |an – a| < 1, ∀n > N
so |an| < |a| + 1, ∀n > N
Take M = max {|a1|, |a2|, …, |aN|, |aN+1|}
Then |an| ≤ M, ∀n ∈ ℕ, Thus {an} is bounded.
- {an} is bounded
⇔ ∃ M > 0, s. t. |an| ≤ M, ∀n ∈ ℕ
관련 개념 정리
정의 1.
(1) 실수 ℝ의 공집합이 아닌 부분집합 X가 위로(아래로) 유계(Bounded above[below])라는 것은
∃ a ∈ ℝ such that x ≤ a [ x ≥ a ], ∀x ∈ X
일 때를 말합니다. 이 때, 이러한 실수 a ∈ ℝ를 집합 X의 상계[하계](Upper[lower] bound)라고 합니다.
(2) 집합 X가 위로 유계이고 또 아래로 유계이면 X는 유계(Bounded)라고 합니다. X가 유계이면 어떤 폐구간 [a, b]가 존재해서 X ⊂ [a, b]가 됩니다.
(3) 만일, 집합 X가 상계[하계]를 갖지 않으면, 집합 X는 위로[아래로] 비유계(unbounded above[below])라고 말합니다.
정의 2.
(1) 집합 X가 실수 ℝ의 공집합이 아닌 부분집합일 때, 어떤 실수 a ∈ ℝ이 X의 최소상계(Least upper bound) 또는 상한(supremum)이라고 하는 것은 다음 조건을 만족할 때입니다.
- a는 X의 상계이다.
- 만일 b가 X의 또 다른 상계이면 a ≤ b이다. 이때, a = lub X 또는 a = sup X라고 쓴다.
(2) 어떤 실수 a ∈ ℝ이 X의 최대하계(Greatest lower bound) 또는 하한(infimum)이라고 하는 것은 다음 조건을 만족할 때입니다.
- a는 X의 하계이다.
- 만일 b가 X의 또 다른 하계이면 b ≤ a이다. 이때, a = glb X 또는 a = inf X라고 쓴다.
- 위에서 (1)에서 최소상계가 되기 위한 조건 2.는 ‘b ＜ a 이면 b는 X의 상계가 아니다’와 같이 말할 수도 있습니다. 이는 또한 다음과 같이 말할 수도 있습니다.
b < a이면 ∃ x ∈ X s. t. b < x
- 마찬가지로 최대하계가 되기 위한 조건 2.도 역시 비슷하게 다음과 같이 말할 수 있습니다.
b > a이면 ∃ x ∈ X s. t. x < b
정리 3.
집합 X가 실수 ℝ의 공집합이 아닌 부분집합일 때, 만일 두 개의 실수 a, b ∈ ℝ가 X의 최소상계[최대하계]라면 a = b입니다.
- 위 정리에 의해 최소상계나 최대하계는 유일합니다. 만약 X가 유한집합이면 sup X = max X이고 inf X이면 min X입니다. 하지만 X가 무한집합일 경우 항상 성립하지는 않습니다.
예시
sup(0, 1) = 1 = sup[0, 1] = max[0, 1]
inf(0, 1) = 0 = inf[0, 1] = min[0, 1]
정리 4.
실수 ℝ의 공이 아닌 부분집합 X가 아래로 유계이면, X는 최대하계를 갖습니다.
예제 5.
a = sup E
(1) a ≥ x, ∀ x ∈ E
(2) ∀ ε ＞ 0, ∃ x ∈ E s. t. x > a – ε
b = inf E
(1) b ≤ x. ∀ x ∈ E
(2) ∀ ε ＞ 0, ∃ x ∈ E s. t. x < b + ε
