여러 가지 연속성
위상수학 공부 10. 여러 가지 연속성
앞으로 공부 글은 일주일에 최소 두 개, 가능하면 세 개를 적으려고 합니다. 이게 여기 적는 내용만 보면 정말 금방금방 쓸 수 있을 것같은데, 제가 속도가 느린 것인지는 모르겠습니다만 하나 적을 때 최소 3시간, 보통 반나절은 걸리는 것같습니다. 사실 공부 능률은 정말 안나오는 것이라고 할 수 있겠습니다만 여기 적는 의미가 있으니까… 그렇게 생각하고 있습니다. 이번에는 여러 가지 연속성에 대해서 공부한 내용들을 적어봤습니다.
Table of Contents
정리 5.12
(X, 𝞣)와 (Y, 𝞣*)는 위상 공간이고 점 p는 X의 한 점입니다. f(p)의 모든 근방 N에 대해 역상 f-1(N)이 p의 근방이 될 때 함수 f가 p에서 연속이라고 합니다.
정리 5.13
(X, 𝞣)와 (Y, 𝞣*)는 위상 공간이고 f는 X에서 Y로 가는 함수일 때 다음은 서로 동치입니다.
(1) f는 X의 모든 점에서 연속이다.
(2) X의 임의의 부분집합 A에 대하여 f는 다음을 만족시킨다.
f(cl(A)) ⊆ cl(f(A))
(3) Y의 임의에 닫힌 부분집합 F에 대하여 f-1(F)는 X의 닫힌 부분집합이다.
(4) f는 연속 함수이다.
증명
(1) → (2) f(cl(A))의 임의의 점 y를 택하면 cl(A)의 점 x가 존재하여 y = f(x)가 됩니다. y가 cl(f(A))에 속하는 것을 보이기 위하여 y를 포함하는 임의의 열린 집합 H를 택하면 H는 y의 근방이 됩니다. f는 x에서 연속이므로 f-1(H)는 x의 근방입니다. 따라서 열린 집합 G가 존재하여 다음을 만족시킵니다.
x ∈ G ⊆ f-1(H)
한편 x가 cl(A)의 점이므로 G와 A는 적어도 한 개의 점을 공유합니다. 따라서 A ∩ G ≠ ∅이고 결국 f(A ∩ G) ≠ ∅입니다. 그런데
f(G) ⊆ f(f-1(H)) ⊆ H
이 되므로,
f(A) ∩ H ⊇ f(A) ∩ f(G) ⊇ f(A∩G) ≠ ∅
이 되어, f(A)와 H는 적어도 1개의 점을 공유합니다. 따라서 y는 cl(f(A))의 점입니다.
(2) → (3) Y의 임의의 닫힌 집합 F를 택하면 F = cl(F)입니다. 따라서
f(cl(f-1(F))) ⊆ cl(f(f-1(F))) ⊆ cl(F) = F
→ cl(f-1(F)) ⊆ f-1(F) (∵ 역상의 정의)
→ cl(f-1(F)) = f-1(F) (∵ ∀A, A ⊆ cl(A))
가 되어 f-1(F)는 X의 닫힌 부분집합입니다.
(3) → (4) Y의 임의의 열린 집합 H를 택하면 Y – H는 닫힌 부분 집합입니다.
f-1(Y – H) = f-1(Y) – f-1(H) = X – f-1(H)
가 X의 닫힌 부분집합이므로 f-1(H)는 X의 열린 부분집합입니다. 즉 f는 연속함수입니다.
(4) → (1) X의 임의의 점 p에 대하여 f(p)에 근방 N을 택하면 정의에 의해 f(p)를 포함하는 N의 열린 부분집합 H가 존재합니다. 즉 f(p) ∈ H ⊆ N입니다. 그런데 f-1(H)는 X의 열린 부분집합이고,
p ∈ f-1(H) ⊆ f-1(N)
이므로 f-1(N)은 p의 근방입니다.
예 5.14
f = 1ℝ : (ℝ, U) → (ℝ, Cf)를 실수의 보통위상공간에서 실수의 여유한공간으로 가는 항등함수라 하겠습니다. 공역의 닫힌 집합 F를 택하면 F는 유한집합이거나 전체집합입니다. 그런데 f-1(F) = F이고, 보통위상공간에서 유한집합과 전체집합은 모두 닫힌 집합이므로 f는 연속함수입니다.
예 5.15
g = 1ℝ : (ℝ, U) → (ℝ, Cc)를 실수의 보통위상공간에서 실수의 여가산공간으로 가는 항등함수라 하겠습니다. 공역에서 집합 F = {1/n | n ∈ ℕ}를 택하면, F는 가산집합이므로 닫힌 집합입니다. 그런데 g-1(F) = F는 보통위상공간에서 극한점 0을 포함하지 않으므로 닫힌 집합이 아닙니다. 따라서 g는 연속함수가 아닙니다.
정리 5.16
함수 f가 위상공간 X에서 위상공간 Y로 가는 함수라 하고 A가 X의 부분공간이라 하겠습니다. f : X → Y가 연속함수이면 축소함수 f|A : A → Y도 연속이 됩니다.
증명
Y의 임의의 열린 집합 U에 대해 역상
(f|A)-1(U) = {x ∈ A | f(x) ∈ U} = A ∩ f-1(U)
가 A에서 열린 집합이므로 f|A는 연속입니다.
정리 5.17
함수 f가 위상공간 X에서 위상공간 Y로 가는 함수이고, X = ∪α∈ΓUα라 하겠습니다. 모든 Uα가 X에서 열린 집합이고, 모든 f|Uα가 연속이면 f도 연속입니다.
증명
모든 f|Uα가 연속이고 모든 Uα가 X에서 열린 집합이라 하겠습니다. Y의 열린 집합 V를 택하면
f-1(V) = f-1(V) ∩ (∪α∈ΓUα) = ∪α∈Γ(f-1(V) ∩ Uα) = ∪α∈Γ(f|Uα)-1(V)
입니다. 모든 (f|Uα)-1(V)가 Uα에서 열린 집합이고, Uα는 X에서 열린 집합이므로 (f|Uα)-1(V)는 X에서 열린 집합입니다. 열린 집합들의 합집합은 열린 집합이므로 f-1(V)는 X의 열린 집합입니다. 따라서 f는 연속함수입니다.
참고 5.18
위 정리에서 Uα가 열린 집합이 아니면 f가 연속함수가 안될 수 있습니다. 예를 들어
f : ℝ → ℝ, f(x) = 0 (x ∈ (-∞, 0)), 1 (x ∈ [0, ∞)
는 연속함수가 아니지만, 두 축소함수
f|(-∞, 0) : ℝ → ℝ, f(x) = 0
f|[0, ∞) : ℝ → ℝ, f(x) = 1
등은 상수함수로서 모두 연속입니다.
정리 5.19
함수 f가 위상공간 X에서 위상공간 Y로 가는 함수이고 X = A∪B라 하겠습니다. A와 B가 X의 닫힌 집합이고, f|A와 f|B가 연속이면 f도 연속입니다.
증명
A와 B가 X의 닫힌 집합이고, f|A와 f|B가 연속이라 하겠습니다. F를 Y의 닫힌 집합이라 하겠습니다.
f-1(F) = f-1(F)∩(A∪B) = (f-1(F)∩A)∪(f-1(F)∩B) = (f|A)-1(F)∪(f|B)-1(F)
입니다. (f|A)-1(F)는 닫힌 집합 A의 닫힌 부분집합이므로 X에서 닫힌 집합입니다. 마찬가지로 (f|B)-1(F)도 X에서 닫힌 집합입니다. 따라서 f-1(F)는 X에서 닫힌 집합입니다. 결국 f는 연속입니다.
정리 5.20
F는 위상공간 (X, 𝞣)에서 위상공간 (Y, 𝞣*)로 가는 함수입니다. 점 p ∈ X로 수렴하는 X의 임의의 수열 < an >에 대하여, Y의 수열 < f(an) >이 Y의 점 f(p)로 수렴하면 f는 점 p에서 수열연속이라고 합니다. X의 모든 점 p에서 f가 수열연속일 때 f를 수열연속함수라 합니다.
보통위상공간에서는 연속함수가 되기 위한 필요충분조건이 수열연속함수가 되는 것입니다. 그러나 일반적인 위상공간에서의 함수는 수열연속함수라고 해서 모두 연속함수는 아닙니다. 일반적으로 연속함수은 수열연속함수이지만, 그 역은 성립하지 않습니다.
정리 5.21
(X, 𝞣), (Y, 𝞣*)가 위상공간일 때, X에서 Y로 가는 연속함수 f는 수열연속입니다.
증명
X의 수열 < an >이 p로 수렴한다고 가정하겠습니다. Y의 수열 < f(an) >이 f(p)로 수렴하는 것을 보이기 위하여, f(p)를 포함하는 임의의 열린 집합 H를 택하겠습니다. f가 연속함수이므로 f-1(H)는 p를 포함하는 X의 열린 집합입니다. < an >이 p로 수렴하므로, 적당한 자연수 n*가 존재하여, n > n*인 모든 자연수 n에 대하여 an은 f-1(H)에 속합니다. 따라서 자연수 n*에 대하여
n > n* → f(an) ∈ H
이므로, 수열 < f(an) >은 f(p)로 수렴합니다. 따라서 f는 수열연속입니다.
예 5.22
여가산공간 (ℝ, Cc)에서 임의의 위상공간 (X, 𝞣)으로 가는 모든 함수 f는 수열연속입니다. 왜냐하면 (ℝ, Cc)의 수열 < an >이 p로 수렴하려면 수열은 반드시 다음의 형태를 갖기 때문입니다.
< a1, a2, … , an, p, p, p, …>
따라서 수열
< f(an) > = < f(a1), f(a2), … , f(an), f(p), f(p), f(p), …>
은 x의 위상에 관계없이 항상 수렴합니다.
예 5.23
함수 f가 항등함수 1ℝ인 경우를 생각하면,
1ℝ : (ℝ, Cc) → (ℝ, U)
는 위 예에 의해 수열연속함수입니다. 그러나 보통위상공간 (ℝ, U)의 열린 부분집합 (0, 1)의 역상인 (0, 1)이 (ℝ, Cc)의 열린 부분집합이 아니므로, 1ℝ은 연속함수가 아닙니다.
정의 5.24
f는 위상공간 (X, 𝞣)에서 위상공간 (Y, 𝞣*)로 가는 함수입니다.
(1) X의 임의의 열린 집합 G의 상 f(G)가 Y의 열린 집합일 때, f를 열린 함수라고 합니다.
(2) X의 임의의 닫힌 집합 F의 상 f(F)가 Y의 닫힌 집합일 때, f를 닫힌 함수라고 합니다.
일반적으로 닫힌 집합의 역상이 닫힌 집합이 되는 것이, 열린 집합의 역상이 열린 집합이 되는 것, 즉 연속함수의 조건과 동치인데 반하여, 열린 함수라고 해서 닫힌 함수가 되는 것은 아니며, 닫힌 함수도 열린 함수가 되는 것은 아닙니다.
