제2가산공간
위상수학 공부 19. 제2가산공간
어느새 4월이 되고, 저는 다른 곳에서 일을 하다보니 또 적응이 안되고, 블로그를 작년 12월부터 글을 매일 써왔지만 이틀간 또 게을렀습니다. 당분간 시험공부 등을 하면서 글을 아무래도 못 적을 수 있는데, 하나하나 해봐야죠. 이번에는 위상수학 공부 19장으로 제2가산공간 관련된 내용에 대해서 공부한 내용들을 적어봤습니다.
Table of Contents
정의 7.13
위상공간 (X, 𝞣)가 가산 기저(countable base)를 가질 때, (X, 𝞣)를 제2가산공간(second countable space)라고 합니다.
예 7.14
(1) 보통위상공간 (ℝ, u)는 가산 기저
B = {(a, b) | a < b, a, b는 유리수}
를 가지므로, 제2가산공간입니다.
(2) 보통위상공간 (ℝ2, u)도 가산 기저
B = {S((p, q), 1/n) | (p, q) ∈ ℚ × ℚ, n ∈ℕ }
을 가지므로, 제2가산공간입니다.
(3) (ℕ, D)는 제2가산공간입니다.
(4) (ℝ, D)는 제1가산공간이지만, 제2가산공간은 아닙니다.
(5) 이산공간 (X, D)의 모든 기저는, X의 한원소집합을 모두 포함해야합니다. 따라서 기저의 기수가 X의 기수보다 크거나 같습니다. 따라서 X가 비가산집합인 경우, 이산공간은 제2가산공간이 아닙니다.
(6) 칸토어 집합도 제2가산공간입니다. 왜냐하면 실수의 집합이 제2가산이므로 부분공간인 칸토어 집합 역시 제2가산공간이 됩니다.
정리 7.15
제2가산공간은 제1가산공간입니다.
증명
제2가산공간인 경우 가산 기저 B가 존재합니다. X의 점 x에 대하여 집합 {Bn ∈ B l x ∈ Bn}는 X의 가산 국소기저가 됩니다. 따라서 X는 제1가산공간입니다.
정의 7.16
g는 집합 X의 멱집합 P(X)의 부분 집합입니다. X의 부분집합 A에 대하여
A ⊆ ∪{E | E ∈ g}
일 때 G를 A의 덮개라고 합니다. 특히 g의 모든 원소 E가 열린 집합이면 G는 A의 열린 덮개(open cover)라 부릅니다. g의 부분집합 g*가 존재하여 g*만으로 A를 덮을 수 있을 때, g*를 g의 부분덮개(subcover)라 합니다. 특히 g*가 유한집합이면 유한부분덮개(finite subcover), 가산집합이면 가산부분덮개(countable subcover)라 부릅니다.
예 7.17
(1) 보통 위상 공간 ℝ에서 {(n, n + 2}는 ℝ의 열린 덮개입니다.
(2) 보통 위상 공간 ℝ2에서 {S(p, 1/n) | p ∈ ℝ2, n ∈ ℕ}는 ℝ2의 열린 덮개입니다.
(3) 보통 위상 공간 ℝ2에서 {S((0, 0), n) | n ∈ ℕ}는 ℝ2의 열린 덮개입니다.
(4) B가 위상 공간 (X, 𝞣)의 기저이면 B는 X의 열린 덮개입니다.
(5) X가 비가산집합인 이상 공간 (X, D)에서 X의 열린 덮개 g = {{p} | p ∈ X}는 유한부분덮개나 가산부분덮개를 갖지 않습니다.
정의 7.18
위상 공간에서 X의 모든 열린 덮개가 가산부분덮개를 가질 때, (X, 𝞣)를 린델뢰프 공간이라 합니다.
정리 7.19
모든 제2가산공간은 린델뢰프 공간입니다.
증명
(X, 𝞣)가 제2가산공간이면 적당한 가산 기저 B가 존재합니다. g를 X의 임의에 열린 덮개라 하겠습니다.
X = ∪{G | G ∈ g}
이므로 X의 모든 점 p에 대하여 p를 포함하는 g의 원소 Gp가 존재합니다. B가 기저이므로 각 Gp에 대하여 기저의 원소 Bp가 존재하여 p ∈ Bp ⊆ Gp가 됩니다. 따라서
X ⊆ ∪{Bp | p ∈ X}
입니다. 그런데 {Bp | p ∈ X}는 가산집합 Β의 부분집합이므로 가산집합입니다. 그러므로 {Bp | p ∈ X} = {Bn | n ∈ ℕ}으로 나타낼 수 있습니다. 각각의 Bn에 대하여 Bn이 Gn이 되는 g의 원소 Gn을 하나씩 택하면
X ⊆ ∪{Bn | n ∈ ℕ} ⊆ ∪{Gn | n ∈ ℕ}
이므로 {Gn | n ∈ ℕ}은 g의 가산부분덮개가 됩니다.
