[해석학 공부] 6장. 도함수 관련 문제

해석학 공부 6장 도함수 관련 문제

들어가기 전에 : 정리만 하고 이 포스트를 업로드하기 전에 졸업시험이 끝났습니다. 시간이 너무 부족해서 개인적인 정리 정도만 했었습니다. 그래서 해석학이나 나머지 과목 등은 조금 여유롭게 준비할 듯한데요, 그 대신 이미 올린 글들도 다소 급하게 올린 감이 있었기에 조금 천천히 올리더라도 정리 등을 조금은 더 공부를 하고 올려보고자 합니다. 기존에는 시간이 없어서 정말 딱 그 문제에 필요한 정리만 올렸었거든요…

Table of Contents

• 해석학 공부 6장 도함수 관련 문제
  • • 문제 1.
      • 풀이
      • 참고
    • 문제 2.
      • 풀이
    • 문제 3.
      • 풀이 1.
      • 풀이 2.
      • 참고
    • 정의 1.
    • 정리 2.
    • 정리 3.

문제 1.

Using the Mean-Value theorem, prove that if f’ is bounded on ℝ, then f is uniformly continuous on ℝ.

풀이

Let x, y ∈ ℝ ( x ≠ y) be given, then by the Mean-value theorem, ∃ c ∈ (x, y) s.t.

\[f'(c) = \frac{f(x)-f(y)}{x-y}\]

but since f’ is bounded,

\[\mid\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\mid = \mid f'(c) \mid\leq M\]

for some M ∈ ℝ, so for each ε > 0, take δ ≤ ε/M.

Then |x – y| < δ ⇒ |f(x) – f(y)| ≤ M|x – y| < ε

참고

• Mean Value Theorem

∃ c ∈ (a, b) s.t.

\[f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]

문제 2.

Let

\[f(x) = \begin{cases}\sin x & if\,x\in ℚ \\x & if\,x\notin ℚ \end{cases}\]

Prove that f’(0) = 1.

풀이

Note

\[f'(0) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}\]

Let ε > 0 be given. since

\[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} = 1,\]

, we can choose δ₀ > 0, s.t. |sinx/(x – 1)| < ε. So take δ = δ₀, then for

\[x\in(-\delta,\,\delta)\cap\mathbb {Q},\, \mid\frac{f(x)-f(0)}{x-0} \mid= \mid\frac{\sin x}{x} -1\mid < \epsilon\]

and

\[x\in(-\delta,\,\delta)\cap\mathbb {Q}^{c},\, \mid\frac{f(x)-f(0)}{x-0} \mid= \mid\frac{x}{x} -1\mid=0 < \epsilon\]

Thus

\[ \mid x-0 \mid<\delta \Rightarrow \mid\frac{f(x)-f(0)}{x-0} \mid < \epsilon\] \[\therefore \, f'(0)=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = 1\]

문제 3.

Show that there does not exist a differentiable function f on [-1, 1] such that

\[f'(x) = \begin{cases}-1 & if \,-1\leq x<0\\x & if\,0\leq x\leq1\end{cases}\]

풀이 1.

Suppose that ∃ a differentiable function f satisfies the given condition. Then by the Intermediate Value Theorem for derivatives, ∃c ∈ (-1, 1) s.t. f’(c) = – 1/2.

But since f’(x) is given by f’(x) = -1(-1 ≤ x ≤ 0) / x(0 ≤ x ≤ 1), so f’(c) can not be -1/2.

it has a contradiction. Thus it has no f.

풀이 2.

Suppose ∃ such f. f’(-1)(= -1) < f’(c) < f’(1)(=1), then ∃c ∈ (-1, 1) s. t. f’(c) = -1/2

but there is no c. it is a contradiction. so it has no f.

참고

• Intermediate Value Theorem(IVT) for derivatives(도함수)

f : differentiable ⇒ ∃c ∈ (a, b) s.t. f’(a) < f’(c) < f’(b)

정의 1.

함수 f : I → ℝ가 개구간 I = (a, b)에서 정의되었다고 하겠습니다. 각각의 점 c ∈ I에 대해서 다음과 같이 극한값을 정의하겠습니다.

\[f'(c) = \lim_{x \rightarrow c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\]

여기서 만일 극한값 f'(c)이 존재하면 f는 c에서 미분가능(differentiable)이라고 하고, 극한값 f'(c)를 f의 c에서의 미분계수(differential coefficient)라고 합니다.

정리 2.

함수 f : I → ℝ가 폐구간 I = [a, b]에서 연속이고 개구간 (a, b)에서 미분가능이라고 가정하겠습니다. 그러면 적어도 하나의 점 c ∈ (a, b)가 존재해서

f(b) – f(a) = f'(c)(b-a)

이것을 평균값 정리(mean value theorem)이라고 합니다.

정리 3.

함수 f : I → ℝ가 폐구간 I = [a, b]에서 연속이고 개구간 (a, b)에서 미분가능이며 f(a) = f(b) = 0이라고 가정하겠습니다. 그러면 적어도 하나의 점 c ∈ (a, b)가 존재해서 f'(c) = 0입니다. 이를 롤의 정리(Rolle’s theorem)라고 합니다. 이는 위 평균값 정리의 특수한 경우입니다.