해석학 공부 실함수의 극한
해석학 공부 3장. 실함수의 극한
들어가기 전에 : 보통은 공부 관련, 그것도 무려 수학 관련 포스팅을 하시는 분들은 다들 어느 정도 지식이 있으신 분들이 거기에다가 본인 공부를 더 하시고자 글을 쓰시는데요, 저는 정말 지식이 없는 상태에서 제 졸업시험을 위해서 공부를 하는 것이다보니 가뜩이나 시간도 짧은 상태에서 졸업시험 문제 위주로 준비하다보니 내용도 풀이과정도 매우 빈약합니다. 수학 적는 것도 다른 과목을 적을 때는 조금씩 익숙해지다보니 나름대로 다듬어지는 듯도 했지만 특히나 이 해석학은 더더욱 어리숙한 모습이 많이 보이네요. 그래도 제 공부를 위한 것이니 최대한 열심히 해야지요… 실함수의 극한 관련 문제입니다.
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문제 1
Prove that
\[\lim_{x \rightarrow a} cos x= cos a\]증명
Let ε > 0 be given,
take δ = ε, then
\[\mid x-a \mid<\delta \Rightarrow\mid cosx-cosa\mid = \mid-2sin\frac{x+a}{2}sin\frac{x-a}{2}\mid\] \[\leq2\mid sin\frac{x-a}{2}\mid \leq 2\mid\frac{x-a}{2}\mid = \mid x-a \mid < \epsilon = \delta\ \] \[∴ \lim_{x \rightarrow a} cosx = cosa\]변형 문제 1.
Prove that
\[\lim_{x \rightarrow a}sin x= sin a\]증명
Let ε > 0 be given,
take δ = ε, then
\[\mid x-a \mid<\delta \Rightarrow\mid sinx-sina\mid = \mid2cos\frac{x+a}{2}sin\frac{x-a}{2}\mid\ \] \[\leq2\mid sin\frac{x-a}{2}\mid \leq 2\mid\frac{x-a}{2}\mid = \mid x-a \mid < \epsilon = \delta\] \[∴ \lim_{x \rightarrow a} sinx = sina\]문제 2.
Find
\[∴ \lim_{x \rightarrow 0^{+}} sin\frac{1}{x}\]justify your answer.
풀이
\[∄\lim_{x \rightarrow 0^{+}} sin\frac{1}{x}\](∵) let
\[x_{n}=\frac{1}{2n\pi}, y_{n}=\frac{1}{2n\pi+\frac{\pi}{2}}\]then {xn} → 0+ and {yn} → 0+, but
\[\lim_{n \rightarrow \infty} sin\frac{1}{x_{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty} sin(2n\pi) = 0\] \[\lim_{n \rightarrow \infty} sin\frac{1}{y_{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty} sin(2n\pi+\frac{\pi}{2}) = 1\] \[\Rightarrow\lim_{n \rightarrow \infty} sin\frac{1}{x_{n}} \neq \lim_{n \rightarrow \infty} sin\frac{1}{y_{n}}\\] \[∴ ∄ \lim_{n \rightarrow \infty} sin\frac{1}{x_{n}}\](cos일 때도 마찬가지의 결과가 나옵니다.)
정의 1.
f : X ⊂ ℝ → ℝ인 함수이고, a가 X의 집적점이라고 가정하겠습니다. 이때,
∀ ε > 0, ∃ δ > 0, s.t. 0 < |x – a|< δ, x ∈ X ⇒ |f(x)-L| < ε
이 성립하면, 이것을 우리말로 ‘x가 a로 접근할 때 f(x)의 극한은 L이다’ 또는 ‘x가 a로 접근할 때 f(x)는 L에 수렴한다’라고 말하고, 이를 기호로는
\[\lim_{x \rightarrow a} f(x)=L\]또는 f(x) → L (x → a)라고 나타냅니다. x → a일 때 f(x)가 극한값을 갖지 않는다면 ‘f(x)는 발산한다’라고 말합니다.
정리 2. (수열판정법)
f : X ⊂ ℝ → ℝ이고 a는 X의 집적점이라고 하겠습니다. 그러면,
\[\lim_{x \rightarrow a} f(x)=L\]⇔ a에 수렴하는 임의의 수열 {xn} ⊂ X – {a}에 대해, f(xn) → L.
정리 3. (발산판정법)
f : X ⊂ ℝ → ℝ이고 a는 X의 집적점이라고 하겠습니다. 그러면,
\[1)\ \lim_{x \rightarrow a} f(x)\neq L \Leftrightarrow \exists \left\{x_{n}\right\} \subset X-{a}, x_{n} \rightarrow a\ s.t. f(x_{n})\nrightarrow L\] \[2)\ \lim_{x \rightarrow a} f(x)\\]⇔ ∃{xn} ⊂ X – {a}, xn → a s.t. f(xn)은 ℝ에서 수렴하지 않음.
