내부, 외부, 경계 (1)
위상수학 공부 4장. 내부, 외부, 경계 (1)
1학기 졸업시험이 그야말로 망해버렸습니다… 블로그에는 글 하나하나 적는 데 너무 오래 걸려서 올리진 못했습니다만 나름대로 정말 열심히 준비했는데… 시간이 지나고 이제 또 2학기가 다가오네요… 아직은 방학때이니만큼 차근차근 공부하고자 블로그에 최대한 적어보고자 합니다. 위상수학 몇 달만에 보는데 벌써 다 까먹은 것 같은데, 다시 열심히 해야죠…ㅠ 내부, 외부, 경계 (1) 입니다.
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정의 3.36
A는 위상공간 (X, Τ)의 부분집합입니다.
(1) A의 모든 열린 부분집합들의 합집합
int(A) = ∪{G | G는 열린 집합, G ⊆ A}
이것을 A의 내부(interior)라고 하며 int(A) 또는 Aº 라고 씁니다. 내부에 속하는 점을 A의 내점(interior point)라고 합니다.
(2) int(X – A)를 A의 외부(exterior)라고 정의하며, ext(A)로 씁니다. ext(A)의 임의의 점을 A의 외점(exterior point)라고 부릅니다.
(3) X – (int(A) ∪ ext(A))를 A의 경계(boundary)라고 정의하고, b(A)로 씁니다. b(A)의 임의의 점을 A의 경계점(boundary point) 라고 부릅니다. 즉, A의 내점도 아니고 외점도 아닌 점이 A의 경계점입니다.
정리 3.37
p가 A의 내점이 되기 위한 필요충분조건은 p를 포함하는 A의 열린 부분집합 G가 존재하는 것입니다.
증명
p ∈ int(A)
⇔ p ∈ ∪{G l G는 열린 집합, G ⊆ A}
⇔ ∃Gp ∈ Τ, p ∈ Gp ⊆ A
참고 3.45. int(A) ⊆ A이고 ext(A) ⊆ Ac이므로 int(A), ext(A), b(A)는 모두 서로소입니다.
예 3.38. (ℝ, u)에서 A = [1, 2]라고 하면
int(A) = (1, 2)
ext(A) = (-∞, 1) ∪ (2, ∞),
b(A) = {1, 2} 입니다.
예 3.39
(1) 비이산공간 (ℝ, Ι)에서 부분집합 ℚ에 대해 int(ℚ)는 공집합이고 ext(ℚ) = int(R – ℚ) = int(ℚc)도 역시 공집합이 됩니다. 따라서 b(ℚ) = ℝ입니다.
(2) 이산공간 (ℚ, D)의 부분집합 ℚ에 대해 int(ℚ) = ℚ, ext(ℚ) = ℚc이 되므로 b(ℚ)는 공집합입니다.
(3) 보통위상공간 (ℝ, u)의 부분집합 ℚ에 대해 int(ℚ)와 ext(ℚ)는 공집합이므로 b(ℚ) = ℝ입니다.
(4) 보통위상공간 (ℝ, u)의 부분집합 N에 대해 int(ℕ) = 공집합이고, ext(ℕ) = int(ℝ – ℕ) = ℝ – ℕ이므로 b(ℕ) = ℕ입니다.
정리 3.40
위상공간 (X, Τ)의 부분집합 A의 내부 int(A)는 다음을 만족시킵니다.
(1) int(A)는 열린 집합입니다.
(2) int(A)는 A의 열린 부분집합 중에서 가장 큽니다.
(3) A가 열린 집합이기 위한 필요충분조건은 A = int(A)입니다.
앞쪽 정리와 비교해보면 int(A)와 cl(A)의 성질이 많이 닮았습니다. 닫힌 집합을 열린 집합으로, 교집합을 합집합으로, 포함집합을 부분집합으로 바꾸면 내용이 같아집니다. 이와 같은 성질을 쌍대성(duality)라고 합니다.
정리 3.41
위상공간 (X, Τ)의 부분집합 A, B에 대해 다음 사실이 성립합니다.
(1) int(X) = X
(2) int(A) ⊆ A
(3) int(A ∩ B) = int(A) ∩ int(B)
(4) int(int(A)) = int(A)
(1), (2), (4)는 앞 정리에 의해서 보일 수 있습니다.
(3) int(A ∩ B)에서 임의의 원소 x를 택하면, G 포함 A ∩ B를 만족시키며, x를 포함하는 적당한 열린 집합 G가 존재합니다. 그러면 G는 A에도 B에도 포함되므로, x는 A의 내점이면서 동시에 B의 내점입니다. 그러므로 x ∈ int(A) ∩ int(B)이 됩니다.
역으로 x ∈ int(A) ∩ int(B)라고 하면 x ∈ int(A)이고 x ∈ int(B)입니다. x ∈ int(A)이므로 정의에 의하여 x를 포함하는 A의 열린 부분집합 U가 존재합니다. 마찬가지로 x ∈ int(B)이므로 x를 포함하는 B의 열린 부분집합 V가 존재합니다. 그러면 U ∩ V ⊆ A ∩ B이므로 x는 A 교집합 B의 내점이 됩니다. 따라서 int(A) ∩ int(B) 포함 int(A ∩ B)이 됩니다.
참고 3.42 보통위상공간 (ℝ, u)에서 A = [0, 1], B = [1, 2]일 때, int(A ∪ B) = (0, 2)이지만 int(A) ∪ int(B) = (0, 1) ∪ (1, 2)이므로 int(A ∪ B) ≠ int(A) ∪ int(B)입니다.
정리 3.43
위상공간 (X, Τ)의 부분집합 A는 다음을 만족시킵니다.
cl(A) = int(A) ∪ b(A)
증명
먼저 p ∉ int(A) ∪ b(A)라 가정하겠습니다.
b(A) = X – (int(A) ∪ ext(A))
이므로, p는 ext(A) = int(X – A)의 점입니다. 이 경우 적당한 열린 집합 G가 존재하여
p ∈ G ⊆ X – A
이므로, G와 A는 서로소입니다. 따라서 정리 3.33에 의하여, p ∉ cl(A)이 됩니다. 그러므로 cl(A) ⊆ int(A) ∪ b(A)입니다.
역으로 p ∉ cl(A)라 가정하겠습니다. 그러면 G ∩ A = Φ인 p를 포함하는 적당한 열린 집합 G가 존재합니다. 또한 int(A) ⊆ A ⊆ cl(A)이므로 p ∉ int(A)입니다. 이제 p가 A의 경계점이라 가정하겠습니다. 그러면 p는 A의 외점이 될 수 없으므로, p는 X – A의 내점이 아닙니다.
즉, p를 포함하는 모든 열린 집합은 X – A의 부분집합이 될 수 없으므로, 위의 열린 집합 G도 A와 적어도 한 개의 점을 공유해야 합니다. 이는 G ∩ A = Φ이라는 사실에 모순이 되므로 p ∉ int(A) ∪ b(A)입니다. 결국 int(A) ∪ b(A) ⊆ cl(A)입니다.
