기저 (1)
위상수학 공부 6장. 기저 (1).
요즘 블로그 자체는 1일 1블로그를 하고 있습니다만 아직 졸업시험이 두 과목이나마 남은 상황인데 공부글 자체는 다소 작성이 늦어지고 있습니다. 사실 위상수학, 기하는 매주 최소 한 개씩은 적어야 되는데… 시간도 없고 제가 좀 게으르기도 하네요. 그래도 오늘 다시 각성하고 앞으로도 열심히 적겠습니다. 제가 공부하는 책이 3 ~ 9단원이 시험범위이고, 이제 4단원 시작이니 아직 갈 길이 많이 멉니다. 열심히 쓰겠습니다. 4단원 첫 부분 ‘기저’에 대해서 다룹니다. 솔직히 위상수학은 제가 개념 이해가 잘 안돼서 공부를 더 열심히 해서 단순 책 내용 복습뿐만 아니라 더 더 많은 부분을 적어줘야 하는데 제가 많이 부족합니다. 더 열심히…
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정의 4.1
위상공간 (X, T)에서 β가 위상 T의 부분집합이라 하겠습니다. 임의의 열린 집합을 β의 원소들의 합집합으로 나타낼 수 있을 때, β를 위상 T의 기저(base)라고 하며 위상 T가 기저 β에 의해 생성되었다고 합니다. 정의에 따르면 기저의 원소는 모두 열린 집합입니다. 그러므로 기저의 원소를 기저 열린 집합이라 부릅니다.
정리 4.2
위상공간 (X, T)에서 T의 부분집합 β가 기저가 되기 위한 필요충분조건은 X의 임의의 점 p와 이를 포함하는 임의의 열린 집합 G에 대하여, p ∈ B ⊆ G인 B가 β에 존재하는 것입니다.
증명
(⇒) 점 p를 포함하는 임의의 열린 집합 G를 택합니다. G는 β의 원소들의 합집합이므로, p는 적어도 한 개의 β의 원소 B에 속하며, B는 G의 부분집합이 됩니다.
(⇐) 임의의 열린 집합 G를 택합니다. G가 공집합이면, G는 β의 원소들의 빈 합집합이 됩니다. 즉, G = Φ = ∪B 이 됩니다. G가 공집합이 아니라고 가정하고, G의 임의의 원소 p를 택하겠습니다. 가정에 의하여 p를 포함하는 G의 부분집합인 Bp가 β에 존재하므로
G = ∪{ { p } | p ∈ G } ⊆ ∪{Bp | p ∈ G } ⊆ G 이고, 이는 곧,
G = ∪ { Bp | p ∈ G }가 됩니다.
즉 G는 β의 원소들의 합집합이라고 할 수 있습니다. 그러므로 β는 위상의 기저가 됩니다.
예 4.3
모든 열린 구간 들의 집합 {{(a, b) | a, b ∈ ℝ, a < b}은 ℝ의 보통위상 U의 기저가 됩니다. 왜냐하면 G ⊆ ℝ이 열린 집합이고 p ∈ G이면, 정의에 의해 p ∈ (a, b) ⊆ G인 열린 구간 (a, b)가 존재하기 때문입니다. 마찬가지로 모든 열린 원판들의 집합은 ℝ2의 보통위상 U의 기저가 됩니다.
예 4.4
모든 열린 직사각형들의 집합은 ℝ2의 보통위상 U의 기저가 됩니다. 왜냐하면 ℝ2의 임의의 열린 집합 G가 점 p를 포함하면 정의에 의해 p ∈ Dp ⊆ G인 열린 원판 Dp가 존재하고, 따라서 p ∈ B ⊆ Dp ⊆ G인 열린 직사각형 B가 존재하기 때문입니다. 마찬가지로, 모든 열린 마름모들의 집합은 ℝ2의 보통위상 U의 기저가 됩니다.
예 4.5
(1) 이산공간 (X, D)에서 한원소집합들을 모두 모은 집합 β = { { p } | p ∈ X } 는 D의 기저가 됩니다.
(2) {X, Φ}는 비이산공간 (X, I)의 기저가 됩니다.
예 4.6
집합 X = {a, b, c}에 대해 β = {{ a, b }, { b, c }}는 이산위상 D의 기저가 될 수 없습니다. 왜냐하면 이산위상 D의 기저가 되려면 {b}가 β의 원소들의 합집합으로 나타낼 수 있어야 합니다. 그런데 {b}는 β의 원소들의 합집합으로 나타낼 수 없습니다.
문제 4.7
{X}가 비이산공간 (X, I)의 기저가 되는가?
X = ∪{X} = X이고, Φ = ∪Φ이므로 {X}는 (X, I)의 기저가 됩니다.
열린 집합들의 적당한 모임은 정의 4.1의 조건을 만족시킬 때 주어진 위상의 기저가 됩니다. 일반적인 집합 X의 부분 집합을 적당히 모아놓은 β가 X의 위상을 생성해낼 수 있는가 하는 의문이 생깁니다. 예를 들면 X는 어떤 위상 공간에서도 열린 집합이므로 X는 β의 원소들의 합집합으로 나타낼 수 있어야 합니다. 따라서 β에 모든 원소들의 합집합이 X가 아닐 때 β는 X의 위상을 만드는 기저가 될 수 없습니다. 다음의 정리는 X의 부분집합을 임의로 모아놓았을 때 기저가 될 조건을 나타냅니다.
정리 4.8
X는 공집합이 아닌 집합이고 β는 P(X)의 부분 집합입니다. β가 적당한 위상 공간 (X, T)의 기저가 되기 위한 필요충분조건은 다음의 두 조건을 만족시키는 것입니다.
(1) X = ∪{B | B ∈ β}
(2) β의 임의의 두 원소 B1과 B2에 대하여, B1∩B2는 β의 원소들의 합집합으로 나타낼 수 있습니다. 즉, 교집합 B1∩B2의 임의의 원소 x에 대하여,
x ∈ B3 ⊆ B1∩B2
인 원소 B3가 β에 존재합니다.
증명
β가 X의 위상을 생성하는 기저라고 하겠습니다. X는 열린 집합이므로 X는 β의 원소들의 합집합으로 나타낼 수 있습니다. 따라서 조건 (1)을 만족시킵니다. 기저는 위상의 부분집합이므로, β의 원소들은 모두 열린 집합이 됩니다. 따라서 B1∩B2도 열린 집합이 됩니다. 그러므로 B1∩B2는 β의 원소들의 합집합으로 나타낼 수 있습니다.
역으로 (1), (2)를 만족시킨다고 가정하겠습니다. β의 원소들의 합집합들을 모두 모아 놓은 집합을 T라고 하면,
T = {∪β* | β* ⊆ β}
라고 하겠습니다. 이제 T가 X의 위상임을 보이면 β가 (X, T)의 기저가 됩니다. (1)에 의하여 X는 T의 원소가 됩니다. 공집합은 β* = Φ인 경우이므로, 공집합도 T의 원소가 됩니다. Gj(j ∈ J)를 T의 원소라 하겠습니다. J의 모든 원소 j에 대해,
Gj = ∪βj
인 βj ⊆ β들이 존재하므로,
∪{Gj | j ∈ J} = ∪{∪βj | j ∈ J}
이 됩니다. 즉, ∪Gj는 β의 원소들의 합집합으로 나타낼 수 있으므로, 역시 T의 원소가 됩니다. T의 원소 G, H를 택하면, 적당한 β의 부분집합 β*와 β**에 대해서
G = ∪β*, H = ∪β**
이므로,
G∩H = (∪β*) ∩ (∪β**) = ∪{B* ∩ B** | B* ∈ β*, B** ∈ β**}
이 됩니다. (2)에 의하여 모든 B* ∩ B**는 β의 원소들의 합집합으로 나타낼 수 있습니다. 따라서 G ∩ H 역시 β의 원소들의 합집합으로 나타낼 수 있습니다. 그러므로 T는 X의 위상이 됩니다.
예제 4.9
집합 X = {1, 2, 3}을 생각하겠습니다.
(1) β = {{1}, {2}, {3}}은 위의 두 조건을 만족시키므로 X의 위상을 생성하는 기저가 됩니다. 실제로 β는 이산위상 D를 생성합니다.
(2) β = {{1}, {2}}는 모든 원소들의 합집합이 X가 아니므로 X의 위상을 생성하는 기저가 될 수 없습니다.
3) β = {{1, 2}, {2, 3}}은 X의 위상을 생성하는 기저가 될 수 없습니다. 왜냐하면 {1, 2}와 {2, 3}의 공통 집합 {2}를 β의 원소들의 합집합으로 나타낼 수 없기 때문이다.
예 4.10
(1) 자연수의 집합 ℕ에서 집합 β = {{1, 2}, {3, 4}, {5, 6}, …}는 위상을 생성하는 기저가 될 수 있습니다.
(2) X가 집합일 때 한원소집합들의 모임 β = {{x} | x ∈ X}는 X의 위상을 생성하는 기저가 될 수 있습니다. 실제로 이산이상 D의 기저가 됩니다.
