위상수학 연속함수
위상수학 공부 9. 연속함수
아직 갈 길이 멉니다만 슬슬 대학생들 개학도 다가오고, 저도 이거 빨리 끝내고도 싶다 보니 조금 더 박차를 밟으면서 적고 있습니다. 아마 2월 내에는 어떻게든 다 적을 것으로 보입니다. 물론 이 과목만 해야 하는 것이 아니라 미분기하학도… 이 친구부터는 지금처럼 일일이 다 적는 것은 좀 무리고요, 그냥 노트 앱에 적은 내용들에 설명들을 간단하게 적는 정도로만 해야 될 듯합니다. 그래도 이 위상수학은 이미 시작한 것이 있으니 계속 이대로 가고자합니다. 여튼 이번에는 5장 처음으로 연속함수 관련 내용들을 적었습니다.
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연속함수
정의 5.1
(X, 𝞣)와 (Y, 𝞣*)는 위상공간입니다.
함수 f : (X, 𝞣) → (Y, 𝞣*)가
H ∈ 𝞣* → f-1(H) ∈ 𝞣
를 만족시킬 때 연속함수라 합니다.
함수 f : (X, 𝞣) → (Y, 𝞣*) 정의역과 공역에 주어진 위상 𝞣와 𝞣*를 구태여 나타낼 필요가 없을 때 f : X → Y라고 합니다.
예 5.2
(1) 임의의 위상 공간 (X, 𝞣)에서 자기 자신으로 가는 함등 함수 1x : (X, 𝞣) → (X, 𝞣)는 연속 함수입니다.
(2) 위상 공간 (X, D)에서 임의의 위상 공간 (Y, 𝞣)로 가는 모든 함수는 연속 함수입니다.
(3) 임의의 위상 공간 (X, 𝞣)에서 비이산공간은 (Y, I)로 가는 함수 f : X → Y는 연속입니다. 왜냐하면 비이산위상은 I = {∅, Y}인데, 이들의 역상을 구하면 f-1(∅) = ∅, f-1(Y) = X입니다. 따라서 f는 연속함수입니다.
(4) X가 두 개 이상의 원소를 포함하는 경우 비이산공간 (X, I)에서 이상공간 (X, D)로 가는 항등함수 1x는 연속함수가 아닙니다.
예 5.3
f : (ℝ, U) → (ℝ, U)가
f(x) = 0 (X ≤ 0), 1(X > 0)
와 같이 정의되었다고 하겠습니다. 집합 A = (-1/2, 1/2)는 열린 집합이지만 f-1(A) = (-∞, 0]는 열린 집합이 아닙니다. 따라서 연속함수가 아닙니다.
예 5.4
이상공간에서 보통위상공간으로 가는 함수 f : (ℝ, D) → (ℝ, U)가
f(x) = 0 (X ≤ 0), 1(X > 0)
와 같이 정의되었다고 한다면, f는 연속함수입니다. 왜냐하면 (ℝ, U)의 임의의 열린 집합 A에 대해 역상 f-1(A)는 이상 공간에서 열린 집합이기 때문입니다. 함수의 그래프를 생각하면 절단된 부분이 있어서 연속이 아닌 것처럼 보이지만, 이것은 정의역과 공역이 보통위상공간일 때만 나타나는 현상입니다. 정의역에 이산위상이 주어져 있기 때문에 이 함수는 연속이 됩니다.
예 5.5
항등함수 h = 1ℝ : (ℝ, Cc) → (ℝ, U)를 생각해보겠습니다. 공역 (ℝ, U)의 열린 부분집합 (0, 1)의 역상 h-1((0, 1)) = (0, 1)이 (ℝ, Cc)의 열린 부분 집합이 아니므로 h는 연속함수가 아닙니다.
예제 5.6
두 위상공간 사이에 정의된 상수함수은 모두 연속함수인가?
풀이
상수 함수 f : (X, 𝞣) → (Y, 𝞣*)를 f(x) = c라 하면 이의의 H ∈ 𝞣*에 대하여
f-1(H) = X (c ∈ H), ∅ (c ∉ H)
입니다. 따라서 f-1(H) ∈ 𝞣이므로 f은 연속함수입니다.
정리 5.7
연속함수와 연속함수의 합성함수는 연속함수입니다.
증명
함수 f : (X, 𝞣) → (Y, 𝞣*)와 g : (Y, 𝞣*) → (Z, 𝞣**)를 연속함수라 하겠습니다. 임의의 H ∈ 𝞣**에 대하여 g가 연속이므로 g-1(H) ∈ 𝞣*이고, 또한 f가 연속이므로 f-1(g-1(H)) ∈ 𝞣입니다. 따라서 (g∘f)-1(H) = f-1(g-1(H)) ∈ 𝞣이므로 g∘f도 연속함수입니다.
정리 5.8
함수 f : (X, 𝞣) → (Y, 𝞣*)가 연속 함수이기 위한 필요충분조건은 𝞣*의 기저 Β*의 임의의 원소 B에 대하여 f-1(B)가 X의 열린 부분집합이 되는 것입니다.
증명
f가 연속함수이고, B는 Β*의 임의의 원소라 하겠습니다. B가 열린 집합이므로 연속함수의 정의에 의하여 f-1(B)도 X의 열린 부분집합입니다. 역으로 f가 연속함수임을 보이기 위하여 Y의 임의의 열린 집합 H를 택해보겠습니다. Β*는 𝞣*의 기저이므로 H는 Β*의 원소들의 합집합으로 나타낼 수 있습니다. 이는 곧,
H = ∪i∈I Bi, Bi ∈ Β*
이 됩니다. 따라서
f-1(H) = f-1(∪i∈I Bi) = ∪i∈If-1(Bi)
이 됩니다. 가정에 의하여 f-1(Bi)는 X의 열린 부분집합이고, 열린 집합들의 합집합도 역시 열린 집합이므로, f-1(H)는 X의 열린 부분 집합입니다. 따라서 f는 연속 함수입니다.
예 5.9
함수 f : (ℝ, U) → (ℝ, U), f(x) = 2x + 3을 생각해보겠습니다. {(a, b) ⊆ ℝ | a < b}는 보통위상공간의 기저입니다. 기저의 임의의 원소 (a, b)에 대한 역상
f-1((a, b)) = ((a – 3)/2, (b – 3)/2)
는 열린집합이 됩니다. 따라서 f는 연속함수입니다.
예 5.10
함수 f : (ℝ, U) → (ℝ, U), f(x) = x2를 생각해보겠습니다. {(a, b) ⊆ ℝ | a < b}는 보통위상공간의 기저입니다. 기저의 임의의 원소 (a, b)에 대한 역상 f-1((a, b))를 생각해보면
f-1((a, b)) = (-√b, -√a) ∪ (√a, √b) (0 ≤ a < b), ∅ (a < b ≤ 0), (-√b, √b) (a < 0 < b)
이 되므로 모두 열린 집합이 됩니다. 따라서 f는 연속함수입니다.
정리 5.11
함수 f : X → Y가 연속이기 위한 필요충분조건은 Y의 위상을 생성하는 부분기저의 임의의 원소 S에 대하여 f-1(S)가 X의 열린 부분집합이 되는 것입니다.
증명
함수 f : (X, 𝞣) → (Y, 𝞣*)를 연속함수라 하고 S*을 𝞣*의 부분 기저라 하겠습니다. 그러면 임의의 S ∈ S*가 Y의 열린 부분집합이고 f가 연속이므로 f-1(S)가 X의 열린 부분집합입니다.
역으로 Β*를 𝞣*의 기저라 하고 B를 Β*의 임의의 원소라 하겠습니다. 그러면 B는 S*의 유한 개의 원소 S1, S2, … Sn들의 교집합으로 나타낼 수 있습니다. 즉,
Β = S1∩…∩Sn
입니다. 따라서
f-1(B) = f-1(S1∩…∩Sn) = f-1(S1) ∩ … ∩ f-1(Sn)
입니다. 가정에 의하여 모든 f-1(Si)는 X의 열린 부분집합이므로 f-1(B)는 X의 열린 부분집합입니다. 따라서 정리 5.8에 의하여 f은 연속함수입니다.
