위상동형함수
위상수학 공부 11. 위상동형함수
요즘 나름 공부 글도 주에 2 ~ 3회는 올리고 있습니다. 처음에는 정말 까마득 그 자체였는데 그래도 나름대로 작심하고 시작하니 어느 정도 진행이 되고 있습니다. 사실 블로그 올려야 할 글들이 많습니다만 하나씩 조금씩 진행한다는 의미로 살고 있습니다. 하여튼 이번에는 위상동형, 위상동형함수 부분을 공부한 내용들을 적어봤습니다.
Table of Contents
정의 5.24
자기 자신과 역함수가 모두 연속인 전단사함수를 위상동형함수라 합니다. X에서 Y로 가는 위상동형함수가 존재할 때 두 위상 공간 (X, 𝞣)와 (Y, 𝞣*)는 위상적으로 같다 또는 위상동형이라고 하며
(X, 𝞣) ≅ (Y, 𝞣*)
로 나타냅니다.
참고 5.25
X에서 Y로 가는 열린 함수이며 연속인 전단사함수가 존재할 때 X와 Y는 위상동형이 됩니다. 왜냐하면 어떤 전단사함수가 열린 함수가 되기 위한 필요충분조건이 그 역함수가 연속이 되는 것이기 때문입니다.
예 5.26
X = (-1, 1)를 보통위상공간 (ℝ, U)의 부분공간이라 하겠습니다. 함수
f : (-1, 1) → ℝ, f(x) = tan(πx/2)
는 전단사 함수이며 연속함수이고 열린 함수이므로 위상동형함수입니다. 즉 ((-1, 1), U(-1, 1))와 (ℝ, U)는 위상동형입니다.
예 5.27
X를 열린 구간 (0, ∞)이라 하겠습니다. X가 보통위상공간 ℝ의 부분공간일 때 함수
f : X → X, f(x) = 1/x
는 위상동형함수입니다.
예 5.28
ℝ의 부분공간인 구간 (0, 1)과 평면 ℝ2의 부분공간인 S1 – {(1, 0)}을 생각해보겠습니다. 이제 함수
f : (0, 1) → (S1 – {(1, 0)}), f(x) = (cos2πx, sin2πx)
를 정의해보겠습니다. f는 전단사함수이며 연속함수이고 열린 함수이므로 이는 곧 위상동형함수입니다. 즉 구간 (0, 1)과 S1 – {(1, 0)}는 위상동형입니다.
예제 5.29
임의의 점 p ∈ ℝ에 대해 ℝ과 {p} X ℝ은 이상동형임을 보이시오. 단, {p} X ℝ은 보통위상공간공간 (ℝ2, U)의 부분공간이다.
풀이
함수 f : ℝ → {p} X ℝ를 f(x) = (p, x)로 정의하면 f는 전단사함수이며 연속함수이고 열린 함수이므로 위상동형함수입니다. 따라서 두 공간은 위상동형입니다.
예 5.30
평면에서 원점을 중심으로 하는 반지름이 1인 단위원과 이 원에 외접하는 임의의 사각형은 ℝ2의 부분 공간으로서 위상동형입니다. 왜냐하면 사각형의 임의의 점에서 원점 방향의 원주 위에 있는 점으로 가는 함수
f(x, y) = (x/(√(x2 + y2), y/√(x2 + y2))
는 위상동형함수입니다. 마찬가지로 단위원과 이 원에 외접하는 임의의 삼각형도 위상동형입니다.
예 5.31
기하학에서 배우는 입체사영(stereographic projection)은 구면에서 북극점을 제거한 ℝ3의 부분공간 S2 – {N}에서 ℝ2로 가는 함수
f : (S2 – {N}) → ℝ2
입니다. 이 함수는 전단사이고 연속이며, 열린 함수이므로 위상동형함수입니다. 따라서 S2 – {N}과 ℝ2는 위상동형이 됩니다.
정리 5.32
‘두 위상공간이 동형이다’라는 관계는 동치관계입니다.
증명
1x : (X, 𝞣) → (X, 𝞣)는 위상동형함수이므로 반사율을 만족시킵니다. (X, 𝞣), (Y, 𝞣*)가 위상동형이라고 가정하면, 위상동형함수
f : (X, 𝞣) → (Y, 𝞣*)
도 존재합니다.
f-1 : (Y, 𝞣*) → (X, 𝞣)
도 역시 위상동형함수이므로 대칭률을 만족시킵니다.
(X, 𝞣)와 (Y, 𝞣*)가 위상동형이고, (Y, 𝞣*)와 (Z, 𝞣**)가 위상동형이면, 위상동형함수
f : (X, 𝞣) → (Y, 𝞣*), g : (Y, 𝞣*) → (Z, 𝞣**)
가 존재합니다. 이들의 합성 함수
g ∘ f : (X, 𝞣) → (Z, 𝞣**)
도 역시 위상동형함수이므로 추이율(transitive law)을 만족시킵니다. 따라서 두 이상공간이 동형인 것은 동치관계입니다.
예 5.33
f : (-1, 1) → (0, 1), f(x) = (1/2)x + 1/2는 위상동형함수이므로 (-1, 1)과 (0, 1)이 위상동형입니다. 따라서 앞 예에 의해 구간 (-1, 1)과 S-1 – {(1, 0)}도 위상동형입니다. 또한 ℝ과 S1 – {(1, 0)}도 위상동형입니다.
정리 5.34
(1) 위상 공간 (X, 𝞣)가 성질 P를 가지면, (X, 𝞣)와 위상동형인 모든 위상공간 (Y, 𝞣*)가 역시 성질 P를 가질 때, P를 위상적 성질이다 또는 성질 P는 위상불변이다라고 합니다.
(2) 위상공간 (X, 𝞣)가 성질 P를 가지면, (X, 𝞣)의 모든 부분 공간 (A, 𝞣A)가 역시 성질 P를 가질 때 성질 P를 유전적이라 합니다.
예 5.35
(1) 연속함수는 수열연속함수가 되므로, 수열의 수렴성은 위상적 성질입니다. 즉 수렴하는 수열이 있으면 위상동형함수로 보내준 함숫값의 수열도 수렴합니다.
(2) 뒤에서 배울 콤팩트성, 연결성, 분리가능성, 제1가산성, 제2가산성, T1 공간, T2 공간, T3 공간, T4 공간이 되는 성질들은 모두 위상적 성질입니다.
예 5.36
보통위상공간 ℝ과 그 부분공간 (-1, 1)은 위상동형입니다. 그런데 (-1, 1)의 길이는 2이므로 유계이지만 ℝ은 유계가 아닙니다. 따라서 유계라는 성질은 위상적 성질이 아닙니다. 마찬가지로 무계(unboundedness)라는 성질은 유전적이 아닙니다.
예 5.37
보통위상공간 ℝ의 부분공간 X = (0, ∞)를 생각해보겠습니다. 함수
f : X → X, f(x) = 1/x
는 위상동형함수입니다. 수열
< an > = < 1, 1/2, 1/3, … >
은 X의 코시 수열입니다. 그러나 이에 대응되는 수열
< f(an) > = < 1, 2, 3, … >
은 코시 수열이 아닙니다. 즉 코시 수열성은 위상적 성질이 아닙니다.
참고 5.38
위 예제에서 수열
< an > = < 1, 1/2, 1/3, … >
은 수렴하지 않습니다. 왜냐하면 공간 (0, ∞)에는 0이 포함되지 않기 때문입니다.
