[위상수학 공부] 12. 약한 위상, 역상위상

약한 위상, 역상위상

위상수학 공부 12. 약한 위상, 역상위상.

요즘 블로그 글은 계속 쓰고 있지만 뭔가 일이 계속 있다보니 공부 글 작성은 다소 부진했습니다. 이 공부글도 분명 책에 있는 내용들 적는 것이지만 은근히 시간 정말 오래 걸리거든요… 그래도 반성하고 더 열심히 활동하고자 합니다. 솔직히 2월까지 위상수학은 다 적는 것이 목표였는데 목표보다 한참 부족한 수준이 되었습니다. 그래도 포기할 수는 없으니 꾸준하게… 하여튼 이번에는 약한 위상 및 역상위상에 대해서 공부한 내용을 적어보고자 합니다.

Table of Contents

• 위상수학 공부 12. 약한 위상, 역상위상.
• 정의 5.39
  • 예제 5.40
    • 풀이
  • 예 5.41
  • 예제 5.42
    • 풀이
• 정리 5.43
  • • 증명
  • 참고 5.44
• 정리 5.45
  • • 증명
• 정의 5.46
  • 예 5.47
• 정리 5.48
  • 증명
  • 예 5.49
• 정리 5.50
  • 증명

정의 5.39

X는 공집합이 아닌 임의의 집합이고, (Y, 𝞣)는 위상 공간입니다. 함수 f : X → Y에 대하여

𝞣* = {f^-1(H) | H ∈ 𝞣}

는 X의 위상이 되는데요, 이를 함수 f에 의해 유도된 역상위상(Inverse image topology)또는 약한 위상(weak topology)이라고 부릅니다. 

예제 5.40

역상위상은 실제로 X의 위상이다. 이를 보이시오.

풀이

(1) ∅ ∈ 𝞣이므로 ∅ = f^-1(∅) ∈ 𝞣* 입니다. 또한 Y ∈ 𝞣이므로 X = f^-1(Y) ∈ 𝞣*입니다.

(2) G_α ∈ 𝞣*라 하겠습니다. 그러면 적당한 H_α ∈ 𝞣가 존재하여 G_α = f^-1(H_α)입니다. 따라서

∪G_α = ∪f^-1(H_α) = f^-1(∪H_α)

이고 𝞣가 위상이므로 ∪H_α ∈ 𝞣입니다. 그러므로 ∪G_α ∈ 𝞣*입니다.

(3) G₁, G₂ ∈ 𝞣*라 하겠습니다. 그러면 적당한 H₁, H₂ ∈ 𝞣가 존재하여 G₁ = f^-1(H₁)이고, G₂ = f^-1(H₂)입니다. 따라서

G₁ ∩ G₂ = f^-1(H₁) ∩ f^-1(H₂) = f^-1(H₁ ∩ H₂)

이고, 𝞣가 위상이므로 H₁ ∩ H₂ ∈ 𝞣입니다. 그러므로 G₁ ∩ G₂ ∈ 𝞣*입니다.

예 5.41

위상 공간 (X, 𝞣)에서 부분집합 A의 포함함수 i_A : A → X에 대한 역상위상은

{i_A^-1(G) | G ∈ 𝞣} = {G ∩ A | G ∈ 𝞣}

이므로 부분위상이 됩니다. 즉 부분위상은 약한 위상입니다.

예제 5.42

Y = {a. b. c}에 주어진 위상 𝞣 = {{a}, {b}, {a, b}, Y, ∅}에 대해서 함수 f : ℝ → Y가 아래와 같이 정의되었을 때 f로부터 얻어지는 ℝ의 역상위상을 구하시오

f(x) = a (x <0 일 때), b (x = 0일 때), b (x > 0일 때)

풀이

역상위상의 정의에 의해 f^-1({a}) = (-∞, 0), f^-1({b}) = {0}, f^-1({a, b}) = (-∞, 0] 등이 열린 집합이므로

𝞣* = {ℝ, ∅, (-∞, 0), {0}, (-∞, 0]}

정리 5.43

역상위상 𝞣*는 f : X → Y가 연속함수가 되기 위한 X의 위상 중에서 가장 작은 위상입니다. 

증명

𝞣*가 역상위상일 때, f : (X, 𝞣*) → (Y, 𝞣)는 연속입니다. 왜냐하면 임의의 H ∈ 𝞣에 대하여 f^-1(H) ∈ 𝞣*이므로 f가 연속함수가 됩니다. 이제 가장 작은 위상임을 보이기 위해 f : (X, ν) → (Y, 𝞣)를 연속함수라 하고 G ∈ 𝞣*라 하겠습니다. 역상위상의 정의에 의해 적당한 H ∈ 𝞣가 존재하여 G = f^-1(H)가 됩니다, 그런데 f : (X, ν) → (Y, 𝞣)가 연속함수이므로 G = f^-1(H) ∈ ν입니다. 따라서 𝞣* ⊆ ν입니다.

참고 5.44

실제로 정의역 X에 이산위상 D를 주면 f는 항상 연속함수가 됩니다. 즉 가장 큰(finer, 강한) 위상은 항상 존재하므로 얼마나 작은(coarser, 약한) 위상을 줄 수 있는가 하는 것이 관심사입니다. 위와 같은 성질 때문에 f에 의해 생성되는 역상위상을 약한 위상이라고 부릅니다.

정리 5.45

집합 X와 위상 공간 (Y, 𝞣)에 대해 f : X → (Y, 𝞣)에 의해 생성된 X의 역상위상을 𝞣*라 하겠습니다. 임의의 위상 공간 (Z, ν)에 대해 g : Z → (X, 𝞣*)가 연속이기 위한 필요충분조건은 합성 함수 f ∘ g가 연속이 되는 것입니다.

증명

역상위상의 정의에 의해 f가 연속이므로 만일 g가 연속이면 합성함수 f ∘ g도 연속함수입니다. 역으로 f ∘ g를 연속함수라 하고 G ∈ 𝞣*라 하겠습니다. 그러면 적당한 H ∈ 𝞣가 존재하여 G = f^-1(H)입니다. 따라서

g^-1(G) = g^-1(f^-1(H)) = (f ∘ g)^-1(H)

이 되고 f ∘ g가 연속함수이므로 (f ∘ g)^-1(H) ∈ ν입니다. 따라서 g^-1(G) ∈ ν입니다. 그러므로 g는 연속함수입니다.

정의 5.46

X는 공집합이 아닌 임의의 집합이고, 모든 i ∈ J에 대해 (Y_i, 𝞣_i)는 위상공간입니다. X에서 Y_i로 가는 함수 f_i들에 대하여 집합 

S = {f_i^-1(H) | H ∈ 𝞣_i, i ∈J}

를 부분기저로 해서 생성되는 X의 위상 𝞣를 함수족 {f_i}_i∈J에 의해 유도된 약한 위상이라고 부릅니다. 

예 5.47

(1) 역상위상은 한 개의 함수에 의해 얻어지는 약한 위상입니다. 

(2) 부분위상도 한 개의 함수(포함함수)에 의해 얻어지는 약한 위상입니다.

정리 5.48

함수족 {f_i}_i∈J에 의해 얻어지는 약한 위상 𝞣는 모든 함수 f_i를 연속으로 만드는 X의 위상 중에서 가장 작은 위상입니다.

증명

함수 f_i : (X, 𝞣) → (Y_i, 𝞣_i)에 대해 H ∈ 𝞣_i이면 f^-1(H) ∈ S ⊆ 𝞣입니다. 따라서 모든 f_i는 연속입니다. 또 다른 위상 ν에 대해 모든 f_i : (X, ν) → (Y_i, 𝞣_i)가 연속이라 하면, 임의의 H ∈ 𝞣_i에 대해 f_i^-1(H) ∈ ν이므로 S ⊆ ν입니다. 그런데 약한 위상 𝞣가 S에 의해 생성된 위상이므로 𝞣 ⊆ ν입니다.

예 5.49

π₁, π₂를 ℝ²에서 ℝ로 가는 사영함수라 하겠습니다. 이는 곧,

π₁((x, y)) = x, π₂((x, y)) = y

입니다. 사영함수에 대해 역상을 구하면

π₁^-1((a, b)) = (a, b) X ℝ, π₂^-1((a, b)) = ℝ X (a, b)

입니다. 즉, ℝ의 열린 구간 (a, b)의 역상은 열린 띠가 됩니다. 이런 열린 띠가 ℝ²에서 보통위상의 부분기저를 이룹니다. 따라서 ℝ²의 보통위상은 함수족 {π₁, π₂}에 의해 유도되는 약한 위상입니다. 또한 ℝ²의 보통위상은 사영함수 π₁, π₂를 모두 연속으로 만드는 ℝ²의 위상 중 가장 작은 위상입니다. 

정리 5.50

집합 X와 위상공간들의 모임 {(Y_i, 𝞣_i) | i ∈ J}가 있을 때 함수족 f_i : X → (Y_i, 𝞣_i)에 의해 생성된 X의 약한 위상을 𝞣라 하겠습니다. 임의의 위상 공간 (Z, ν)에 대해 함수 g : (Z, ν) → (X, 𝞣)가 연속이기 위한 필요충분요건은 합성함수 f_i ∘ g가 모두 연속이 되는 것입니다. 

증명

약한 위상의 성질에 의해 f_i가 연속 함수이므로 g가 연속이면 합성함수 f_i ∘ g도 연속함수입니다. 역으로 모든 f_i ∘ g를 연속함수라 하겠습니다. 집합

S = {f_i^-1(H) | H ∈ 𝞣_i, i ∈ J}

가 약한 위상 𝞣의 부분기저가 되므로, 부분 기저 S의 원소에 대한 역상이 열린 집합임을 보이면 g가 연속이 됩니다. f_i^-1(H) ∈ S에 대해

g^-1(f_i^-1(H)) = (f_i ∘ g)^-1(H)

입니다. 그런데 f_i ∘ g가 연속이므로 (f_i ∘ g)^-1(H) ∈ ν입니다. 그러므로 g는 연속 함수입니다.