강한 위상, 상위상
강한 위상, 상위상. 위상수학 공부 13.
최근 또 근황이 뭔가 많다보니 위상수학 글을 늦게 쓰게 되었습니다. 사실 개학 전까지 위상수학을 다 적는 것이 목표였는데요, 이거 이미 3월 12일이 되어버렸는데 이제 반 정도 적었으니 갈 길이 멉니다… 그래도 5월 경에 또 또 또 졸업시험이 있을 예정이니 최소 3월까지는 블로그에 공부 글을 모두 옮기고, 그 이후부터는 혼자 죽어라고 공부하는 것이 목표입니다. 이번에는 강한 위상, 상위상에 대해서 공부한 내용들을 적어봤습니다.
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정의 5.50
(X, 𝞣)는 위상공간이고, Y는 공집합이 아닌 임의의 집합이라 하겠습니다. X에서 Y로 가는 함수 f에 대하여
𝞣* = { H ⊆ Y | f-1(H) ∈ 𝞣}
는 Y의 위상이 되는데, 이를 함수 f에 의해 유도된 Y의 강한 위상(strong topology)이라 합니다. 특히, f가 전사함수일 때 𝞣*를 상위상(quotient topology)이라 부르고, (Y, 𝞣*)를 X의 상공간(quotient space)이라 하며, 함수 f를 상함수(quotient map)라 합니다.
예제 5.51
위에서 정의한 강한 위상은 실제로 y에서 위상이 됨을 보이시오
풀이
(1) f-1(Y) = X ∈ 𝞣이므로 Y ∈ 𝞣*이고, f-1(∅) = ∅ ∈ 𝞣이므로 ∅ ∈ 𝞣*입니다.
(2) 모든 i ∈ J에 대해 Gi가 𝞣*의 원소라 하겠습니다. 모든 i ∈ J에 대해 f-1(Gi) ∈ 𝞣이므로 f-1(∪i∈JGi) = ∪i∈Jf-1(Gi) ∈ 𝞣입니다. 강한 위상의 정의에 의해서 ∪i∈JGi ∈ 𝞣*입니다.
(3) G, H ∈ 𝞣*이라 하겠습니다. 정의에 의해 f-1(G), f-1(H) ∈ 𝞣입니다. f-1(G∩H) = f-1(G)∩f-1(H) ∈ 𝞣이므로 G ∩ H ∈ 𝞣*입니다.
따라서 강한 위상은 실제로 Y의 위상이 됩니다.
예제 5.52
보통 위상 공간 ℝ에서 Y = {a, b, c}로 가는 함수 f : ℝ → Y가 아래와 같이 정의되었을 때, f로부터 얻어지는 Y의 강한 위상을 구하시오.
f(x) = a (x < 0일 때), b(x = 0일 때), c(x > 0일 때)
풀이
강한 위상의 정의에 의해 f-1({a}) = (-∞, 0), f-1({c}) = (0, ∞) f-1({a, c}) = (-∞, 0) ∪ (0, ∞) 등이 열린 집합이므로, 강한 위상은
𝞣* = {H ⊆ Y | f-1(H) ∈ U} = {Y, ∅, {a}, {c}, {a, c}}
예제 5.53
보통위상공간 X = (ℝ, U)에서 Y = ℝ로 가는 함수 f(x) = x2에 의해 얻어지는 강한 위상의 열린 집합들을 구하고, 이 위상이 보통위상이 아님을 보이시오.
풀이
강한 위상의 정의에 의해
(1) 0 < a < b일 때, f-1((a, b)) = (-√b, -√a) ∪ (√a, √b)가 X에서 열린 집합이므로 (a, b)는 Y에서 열린 집합입니다.
(2) 0 < b일 때, f-1([0, b)) = (-√b, √b)가 X에서 열린 집합이므로 [0, b)는 Y에서 열린 집합입니다.
(3) a < 0에 대해 f-1({a}) = ∅이 X에서 열린 집합이므로 음수의 한원소집합 {a}는 Y에서 열린 집합입니다.
따라서 (2), (3)으로부터 f에 의해 얻어지는 강한 위상은 보통위상과 다릅니다.
참고 5.54
상함수가 되기 위한 필요충분조건은
[F가 Y에서 닫힌 집합 ⇔ f-1(F)가 X에서 닫힌 집합]
과 같습니다. 왜냐하면 f-1(Y – H) = X – f-1(H)이기 때문입니다.
정리 5.55
강한 위상은 함수 f를 연속으로 하는 Y에의 위상 중 가장 큰(finest) 위상입니다.
증명
(X, 𝞣)는 위상 공간이고 Y는 공집합이 아닌 임의의 집합이라 하겠습니다. X에서 Y로 가는 함수 f에 의한 Y의 강한 위상을 𝞣*라 하겠습니다. 강한 위상의 정의에 의해 f는 분명히 연속입니다. 이제 f를 연속으로 하는 Y의 위상 V가 있다고 하겠습니다. G ∈ V라 하면 f의 연속성에 의해 f-1(G) ∈ 𝞣입니다. 그러므로 강한 위상의 정의에 의해 G ∈ 𝞣*입니다. 따라서 V ⊆ 𝞣*입니다. 즉 강한 위상은 f를 연속으로 하는 가장 큰 위상입니다.
참고 5.56
위와 같은 성질 때문에 정의 5.50의 위상을 강한 위상이라 부릅니다.
정리 5.57
(X, 𝞣)와 (Y, V)가 위상공간이고 f : X → Y가 연속인 전사함수라 하겠습니다. 함수 f가 열린 함수이거나 닫힌 함수이면 f은 상함수입니다. 즉 V는 상위상입니다.
증명
열린 함수인 경우만 증명해보겠습니다. 𝞣*를 f에 의해 생성되는 Y의 상위상이라 하고 𝞣* = V임을 보이겠습니다. 함수 f를 열린 함수라 하겠습니다. 위 정리에 의해 𝞣*는 f를 연속으로 하는 가장 큰 위상이므로 V ⊆ 𝞣*입니다. 반대로 U ∈ 𝞣*라 하겠습니다. 상위상의 정의에 의해 f-1(U) ∈ 𝞣입니다. f가 열린 전사함수이므로 U = f(f-1(U)) ∈ V입니다. 결국 𝞣* ⊆ V입니다. 그러므로 𝞣* = V입니다.
참고 5.58
위 정리는 전사함수 f : (X, 𝞣) → (Y, V)가 연속이고 열린 함수이거나, 연속이고 닫힌 함수이면 Y가 상공간이 된다는 것을 의미합니다.
예 5.59
X = [0, 2π], Y = {(x, y) | x2 + y2 = 1}이라 하고, 보통위상의 부분위상을 생각해보겠습니다. 함수
f : X → Y, f(x) = (cosx, sinx)
를 생각하면, 함수 f는 연속이고 닫힌 전사함수입니다. 따라서 f는 상함수이고, 원은 구간 [0, 2π]의 상공간입니다.
예 5.60
사영함수 π1 : ℝ2 → ℝ, π1(x, y) = x를 생각해보겠습니다. π1은 연속이고 열린 전사함수이므로 상함수입니다. 그러나
A = {(x, 1/x) ∈ ℝ2 | x ∈ ℝ, x > 0}
은 닫힌 집합이지만 상을 구하면 π1(A) = (0, ∞)로서 닫힌 집합이 아니므로, π1은 닫힌 함수가 아닙니다.
예 5.61
X = [0, 1] ∪ [2, 3]와 Y = [0, 2]를 보통위상공간 ℝ의 부분공간이라 하겠습니다. 함수 p : X → Y를
p(x) = x (x ∈ [0, 1]), x – 1 (x ∈ [2, 3])
이라 정의하겠습니다. p는 연속이고 닫힌 전사함수이므로 상함수입니다. 그러나 X의 열린 집합 [0, 1]의 상 p([0, 1]) = [0, 1]이 Y에서 열린 집합이 아니므로, p는 열린 함수가 아닙니다.
예 5.62
상함수라 해도 열린 함수도 아니고 닫힌 함수도 아닌 경우가 있습니다.
X = {(x, y) ∈ ℝ2 | x ≥ 0 또는 y = 0}
라 하고, X에 대한 ℝ2의 보통위상의 부분위상을 𝞣라 하겠습니다.
f : (X, 𝞣) → (ℝ, U), f(x, y) = x
라 하면 정의에 의해 f는 상함수입니다. 그런데 점 (0, 2)에서 반지름이 1인 열린 원판과 X의 교집합
G = S((0, 2), 1) ∩ X
는 X에서 열린 집합이지만 f(G) = [0, 1)은 ℝ에서 열린 집합이 아닙니다. 따라서 f는 열린 함수가 아닙니다. 그리고
F = {(x, 1/x) | x > 0}
는 X에서 닫힌 집합이지만 f(F) = (0, ∞)는 ℝ에서 닫힌 집합이 아닙니다. 따라서 닫힌 함수가 아닙니다.
예 5.63
상함수의 축소함수라 해서 상함수가 되는 것은 아닙니다. 예 5.61의 상함수를 생각하면, 이제 A = [0, 1] ∪ (2, 3]를 x의 부분공간이라 하겠습니다. 축소함수 q = p|A : A → [0, 2]를 생각하면 q는 연속인 전사함수입니다. 하지만 상함수는 아닙니다. 왜냐하면
q-1((1, 2]) = (2, 3]
은 정의역에서 닫힌 집합이지만 (1, 2]는 Y에서 닫힌 집합이 아닙니다.
참고 5.64
상함수의 합성은 상함수입니다.
정리 5.65
(X, 𝞣)를 위상공간, Y를 공집합이 아닌 집합, f : X → Y를 전사함수라 하겠습니다. 𝞣*가 f에 의해 유도된 Y의 상위상이라 하겠습니다. 임의의 위상공간 (Z, V)에 대해 g : Y → Z가 연속이기 위한 필요충분조건은 합성함수 g ∘ f가 연속이 되는 것입니다.
증명
상함수의 정의에 의해 f가 연속이므로 만일 g가 연속이면 합성 함수 g ∘ f도 연속함수입니다. 역으로 g ∘ f를 연속함수라 하고 G ∈ V라 하겠습니다. (g ∘ f)-1(G) ∈ 𝞣이고 (g ∘ f)-1(G) = f-1(g-1(G))이므로 g-1(G) ∈ 𝞣*입니다. 그러므로 g는 연속함수입니다.
정의 5.66
Y는 공집합이 아닌 임의의 집합이고, 모든 i ∈ J에 대해 (Xi, 𝞣i)는 위상공간입니다. Xi에서 Y로 가는 함수 fi들에 대하여 집합
𝞣 = {G | fi-1(G) 𝞣i, ∀i ∈ J}
는 Y의 위상을 이루는데, 이 위상을 함수족 {fi}i∈J에 의해 생성된 Y의 강한 위상(strong topology)이라고 부릅니다.
예제 5.67
함수족 {fi : (Xi, 𝞣i) → Y | i ∈ J}에 의해 생성된 강한 위상은 실제로 Y의 위상입니다.
정리 5.68
강한 위상은 모든 fi를 연속으로 만드는 Y의 위상 중에서 가장 큰 위상입니다.
증명
정의에 의해 모든 fi : (Xi, 𝞣i) → (Y, 𝞣)는 연속입니다. 이제 모든 fi를 연속으로 하는 Y의 위상 V가 있다고 하겠습니다. G ∈ V라 하면, 모든 i ∈ J에 대해 fi가 연속이므로 fi-1(G) ∈ 𝞣i입니다. 강한 위상의 정의에 의해 G ∈ 𝞣입니다. 따라서 V ⊆ 𝞣입니다. 즉, 강한 위상은 모든 fi를 연속으로 만드는 가장 큰 위상입니다.
정리 5.69
위상공간들의 모임 {(Xi, 𝞣i) | i ∈ J}와 공집합이 아닌 임의의 집합 Y가 있을 때, 함수족 fi : (Xi, 𝞣i) → Y에 의해 생성된 Y의 강한 위상을 𝞣라 하겠습니다. 임의의 위상 공간 (Z, V)에 대해 함수 g : (Y, 𝞣) → (Z, V)가 연속이기 위한 필요충분조건은 합성함수 g ∘ fi가 모두 연속이 되는 것입니다.
증명
g가 연속이면 분명히 합성함수 g ∘ fi도 연속함수입니다. 역으로 모든 g ∘ fi를 연속함수라 하고 G ∈ V라 하겠습니다. 모든 i ∈ J에 대해 (g ∘ fi)-1(G) ∈ 𝞣i이고, (g ∘ f)-1(G) = fi-1(g-1(G))이므로 g-1(G) ∈ 𝞣입니다. 그러므로 g는 연속함수입니다.
