제1가산공간
위상수학 공부 18. 제1가산공간.
이제 절반을 넘었는데 이미 4월이어서 이제는 블로그에 다 적기보다 그냥 공부를 해야 할 시기가 온 듯도 합니다만, 그래도 최대한 해보려고 합니다… 이왕 공부할 거 제 흔적을 남긴다는 생각에서… 여튼 이번에는 제1가산공간에 대해서 공부한 내용들을 적어봤습니다. 이쪽 부분은 좀 헷갈리긴 하는데 그래도 막 어렵지는 않은 듯해서(당연히 상대적으로) 다행이라는 생각을 합니다.
Table of Contents
정의 7.1 제1가산공간
위상공간 (X, 𝞣)의 모든 점 x가 가산 국소기저(countable local base)를 가질 때, (X, 𝞣)를 제1가산공간(first countable space)라고 합니다.
예 7.2
(1) 거리공간 (X, d)의 점 p는 열린 공들의 집합
{S(p,1/n) | n ∈ ℕ}
을 국소기저로 가지므로 모든 거리공간은 제1가산공간입니다. 특히, 보통거리공간 (ℝ, d), (ℝ2, d)등은 제1가산공간입니다.
(2) 이산공간 (X, D)의 점 p는 한원소집합 {{p}}를 국소기저로 가지므로 모든 이산공간은 제1가산공간입니다. 예를 들어서 (ℝ, D)는 제1가산공간입니다.
(3) 비이산공간 (X, I)은 제1가산공간입니다. 왜냐하면 x ∈ X에 대해서 {X}가 가산 국소기저이기 때문입니다.
(4) 아래끝 위상공간(ℝ, Ll)은 제1가산공간입니다. 왜냐하면 임의의 x 원소 R에 대해
Bx={[x, x+(1/n)) | n ∈ ℕ }
이 가산 국소기저가 되기 때문입니다.
예 7.3
실수 집합 ℝ과 여유한위상으로 이루어진 위상공간 (ℝ, Cf)은 제1가산공간이 아닙니다. (ℝ, Cf)가 제1가산공간이라고 가정하면 실수 1은 가산 국소기저
B = {Bk | k ∈ K} (K는 가산집합)
를 갖습니다. Bk는 이를 포함하는 열린 집합이므로 R – Bk는 유한집합이고, 집합
A = ∪{ℝ – Bk | k ∈ K}
는 가산집합입니다. ℝ은 비가산집합이므로 A의 원소가 아닌 실수 p가 존재합니다. ℝ은 비가산집합이므로 p는 1이 아니라고 가정할 수 있습니다.
p ∈ ℝ – A = ∩{Bk | k ∈ K}
이므로 모든 k ∈ K에 대하여 p는 Bk의 원소가 됩니다. 그러나 집합 ℝ – {p}는 1을 원소로 가지는 열린 집합이므로 1 ∈ Bn* ⊆ ℝ – {p}인 적당한 k의 원소 n*가 존재합니다. 그러면 p가 Bn*의 원소가 아니므로 모순입니다. 따라서 (ℝ, Cf)는 제1가산공간이 아닙니다.
참고 7.5
가산집합 {Bk | k ∈ K}는 K가 유한집합이거나 자연수의 집합 N과 일대일대응이 된다는 것을 의미하므로
{Bk | k ∈ K} = {Bn | n ∈ ℕ}
로 나타낼 수 있습니다. 이때 K가 가부번 집합일 경우는 K = ℕ으로 생각하고, K가 유한집합일 경우는 유한 개를 제외한 나머지 집합 Bn들이 모두 같다고 생각하면 된다. 즉 적당한 자연수 m에 대하여 n ≥ m일 때 Bn = Bm인 경우 K는 유한집합입니다.
정의 7.6
집합족 B={Bn l n ∈ ℕ}가 모든 n에 대하여
Bn+1 ⊆ Bn
일 때, 이 집합족이 축소성(nested property)을 갖는다고 합니다. 위상공간의 가산 국소기저가 축소성을 가질 때, 축소가산 국소기저(nested countable local base)라고 합니다. 제1가산공간의 모든 점은 축소가산 국소기저를 갖습니다.
증명
점 p가 제1가산공산 (X, 𝞣)의 한 점이면, 점 p에서 가산국소기저 Bp = {Bn | n ∈ ℕ}이 존재합니다. Gm = ∩n = 1~mBn이라 정의하겠습니다. 이제 집합
Bp* = {Gm | m ∈ ℕ}
가 p의 축소가산 국소기저임을 보이겠습니다. Gn+1 ⊆ Gn이므로 Bp*는 축소성을 갖습니다. Bp*의 기수가 Bp의 기수보다 클 수 없으므로, Bp*는 가산집합입니다. Bp*의 원소 Gn은 p를 포함하는 열린 집합 Bn들을 유한 개 교집합한것이므로, 역시 p를 포함하는 열린 집합입니다. p를 포함하는 임의의 열린 집합 G를 택하면, Bp의 원소 Bn이 존재하여 p ∈ Bn ⊆ G가 됩니다. Gn은 p를 포함하는 Bn의 부분집합이므로, p ∈ Gn ⊆ Bn ⊆ G가 됩니다. 따라서 Bp*는 p의 축소가산국소기저입니다.
보조정리 7.9
Bp={Bn l n ∈ ℕ}를 제1가산공간 (X, 𝞣)의 한 점 p의 축소가산국소기저라고 하겠습니다. 그러면 Bp의 모든 원소 Bn에서 한 점씩을 택하여 만든 수열 < an >은 p로 수렴합니다.
증명
점 p를 포함하는 임의의 열린 집합 G를 택하면 Bp는 p의 국소기저이므로, 적당한 Bn*가 Bp에 존재하여 p ∈ Bn* ⊆ G가 됩니다. Bp가 축소성을 가지므로 n ≥ n*일 때 an ∈ Bn ⊆ Bn* ⊆ G가 되어 수열 < an >은 p로 수렴합니다.
정리 7.10
f는 제1가산공간 (X, 𝞣)에서 위상공간 (Y, 𝞣*)로 가는 함수입니다. X의 한 원소 p에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치입니다.
- f는 p에서 연속입니다
- f는 p에서 수열연속입니다.
증명
(2) => (1) (X, 𝞣)가 제1가산공간이므로 p는 축소가산국소기저 Bp = {Bn | n ∈ ℕ}를 갖습니다. f가 p에서 연속이 아니라고 가정하면 f(p)를 포함하는 적당한 집합 H가 존재하여 p를 포함하는 모든 열린 집합
f(G) not ⊆ H
가 됩니다. 따라서 모든 자연수 f(Bn) not ⊆ H입니다. 즉 모든 자연수 n에 대하여 an ∈ Bn이지만 f(an) not ∈ H인 an이 존재합니다. 그런데 보조 정리 7.9에 의해 수열 < an >은 p로 수렴합니다. f가 수열연속이므로 수열 < f(an) >도 f(p)로 수렴합니다. 즉 수열 < f(an) >의 유한 개를 제외한 나머지 항들이 열린 집합 H에 들어갑니다. 이는 모순입니다. 따라서 f는 p에서 연속입니다.
예 7.11
거리 공간은 제1가산공간이므로 거리 공간의 함수 f가 연속이기 위한 필요충분조건은 수열연속이다.
