![[미분기하학 공부] 1. 유클리드 공간, 탄젠트 벡터](https://i0.wp.com/kingpinstudio.net/wp-content/uploads/2024/04/%EB%AF%B8%EB%B6%84%EA%B8%B0%ED%95%98%ED%95%99-1.jpg?resize=1000%2C749&ssl=1 "유클리드 공간")
유클리드 공간, 탄젠트 벡터
미분기하학 공부 1. 유클리드 공간, 탄젠트 벡터
이제 슬슬 졸업시험 날짜도 다가오고, 그나마 위상수학과 미분기하학 두 과목 빼고는 합격을 했어서 저 두 과목만 보면 됩니다. 작년에 5, 6과목 공부할 때는 정말 힘들었는데… 물론 저 두 과목도 쉽지는 않습니다. 그래도 해봐야죠 에휴… 이 미분기하학도 공부내용을 블로그에 정리하고자 하는데요, 위상수학은 이미 하던 것이기도 하고 실제 시험범위가 책 모든 예시이기 때문에 사실상 위상수학 책을 그대로 옮겨 적는 수준입니다만, 이 과정이 생각보다 시간이 정말 오래 걸립니다. 그래서 다소 비효율적입니다. 그래서 다른 과목들은 제가 공부한 내용을 사진으로 옮기고 설명만 살짝 적어주는 정도만 하려고 합니다. 저도 시험 통과해야 하는 처지이니 양해를 좀…
졸업시험 범위가 미분기하학 1, 2입니다. 졸업시험을 준비할 때마다 이론은 항상 공부합니다만 방학이 지나면 까먹습니다. 이론을 먼저 적고 그 후에 문제도 정리하려고 합니다. 이번에는 유클리드 공간, 탄젠트 벡터 부분에 대해서 공부한 내용들을 적어봤습니다.
Table of Contents
1. 유클리드 공간(Euclidean Space)
3차원 유클리드 공간 ℝ3은 세 실수의 쌍으로 구성되어 있습니다. 보통 위 사진에서 (x, y, z)로 나타내죠. 저 사진의 Remark 부분에서 나오듯 ℝn이면 n차원 유클리드 공간이라고 하는 것입니다. 그리고 저 x, y, z를 유클리드 좌표함수라고 부르며 x = x1,y = x2, z = x3같은 식으로 표현합니다.
그리고 Def 1.3 부분에서 f : ℝ3 → ℝ이 주어졌을 때 f가 미분가능(differentiable)하다는 것은, f가 모든 차수(몇 번을 미분해도 된다는 의미)의 편도함수(편미분)이 존재하고 그 편도함수들이 연속적임을 의미합니다.
2. 탄젠트 벡터(Tangent Vector)
탄젠트 벡터 Vp = (v1, v2, v3)p는 점 p부터 p+v까지의 방향 벡터를 의미합니다. 방향 벡터는 어떤 벡터 공간에서 벡터의 방향을 지정해주는 벡터를 의미합니다. 그래서 위 Def 2.1 부분에서 p에서 p+v부분까지 선이 그어져있는 부분에서 단순히 선만 있는 게 아니라 화살표 모양으로 방향까지 표시되어 있음을 알 수 있습니다. 그리고 Tp = {Vp | V = (v1, v2, v3) ∈ ℝ3}를 p = ℝ3에서의 ℝ3의 탄젠트 공간이라고 합니다. 한편 밑의 Remark 부분에서 Vp + Wp = (V + W)p이고, CVp = C(V)p임도 알 수 있습니다.
Def 2.3 부분에서 벡터장(Vector Field)의 개념이 나와있습니다. 타자로 치기는 다소 어려운 기호여서… 여튼 벡터장은 공간의 각 점에 벡터를 할당하는 함수입니다. 저 벡터들은 각 지점에서의 방향과 크기를 나타냅니다. 그래서 단위 벡터로 움직입니다. 단위 벡터는 크기가 1인 벡터를 의미하며, 그렇기에 특정 방향 혹은 크기를 나타내는 데 사용할 수 있습니다. V(x, y) = (1, 0)(x, y)와 같은 식입니다. 밑의 예시 부분처럼 V(x, y) = (1, 0) W(x, y) = (-x, -y)이라면 (V+W)(x, y) = (1 – x, -y)와 같이 됩니다.
