[위상수학 공부] 17. Hilbert 공간, 노름공간

Hilbert 공간, 노름공간

위상수학 공부 17. Hilbert 공간, 노름공간

이 부분이 내용이 다소 짧은 줄 알았는데 언제나 그렇듯이 글을 쓰다보면 많아집니다. 그리고 간만에 시그마 기호를 쓸 일이 있다보니 또 수학 코드를 입력하느라고 평소보다 시간이 더 많이 걸렸습니다. 사실 그렇게 적어줘야 보기도 좋긴 한데 좀 고됩니다… 하여튼 이번에는 Hilbert 공간과 노름공간에 대해서 공부한 내용들을 적어봤습니다.

위상수학 공부 17. Hilbert 공간, 노름공간

정의 6.35

ℝⁿ={(a₁, a₂, …. , a_n)} l a_i ∈ ℝ, i = 1, 2, …, n}이라고 할 때, 함수 d : ℝⁿ x ℝⁿ → ℝ이 임의의 점 a = (a₁, a₂, …. , a_n), b = (b₁, b₂, …, b_n) ∈ ℝⁿ에 대하여,

d(a, b) = {(a₁ – b₁)² + … + (a_n – b_n)²}^1/2

로 정의되어 있을 때, d를 유클리드 거리함수(Euclidean metric), 또는 보통거리함수(usual metric)이라고 부르며, 이때 (ℝⁿ, d)를 n차원 유클리드 공간(Euclidean space)이라고 합니다. 이 거리함수로부터 유도되는 거리위상 U을 보통위상(usual topology)이라 하고, (ℝⁿ, U)를 보통위상공간(usual topological space)이라 합니다.

집합 ℝⁿ에 줄 수 있는 가장 대표적인 거리함수는 유클리드 기하함수입니다. 또 이에 대한 정리로 유클리드 거리함수는 거리함수의 공리를 만족시킵니다. 즉, 실제로 거리함수가 됩니다.

정의 6.36

ℝ^∞ = {< a_n > | a₁² + a₂² + … a_n² + …. < ∞ }이라고 할 때, 즉, 각 항의 제곱들로 이루어진 무한급수가 수렴하는 수열들의 모임이 ℝ^∞ 입니다.

예 6.37

a = < 1, 1, 1, … >, b = < 1/n >일 때, 1² + 1² + … 는 발산하므로 a는 ℝ^∞의 원소가 아닙니다. 그러나 1² + (1/2)² + … + (1/n)² + …는 수렴하므로, b는 ℝ^∞의 원소입니다.

정의 6.38

함수 d : ℝ^∞ x ℝ^∞ → ℝ이 ℝ^∞의 원소 a=< a_n >와 b=< b_n >에 대하여

\[d(a, b) = \sqrt{\sum_{n=1}^∞(a_{n}-b_{n})^{2}}\]

로 정의되어 있을 때, 이 함수를 힐베르트 거리함수(Hilbert metric)또는 l₂ 거리함수(l₂ metric)이라고 하고, (ℝ^∞, d)을 힐베르트 공간(Hilbert space), 혹은 l₂ 공간(l₂ space)으로 부릅니다. 무한차원 공간인 ℝ^∞에도 이와 같이 힐베르트 거리함수를 줄 수 있습니다.

정리 6.39

l₂ 거리함수는 거리함수의 공리를 만족시킵니다. 즉 실제로 거리함수가 됩니다.

예 6.40

Hilbert 공간의 점 P_k = < a_ki >가

a_ki = 1(i = k일 때), a_ki = 0(i ≠ k일 때)

로 정의되었다고 하겠습니다. 수열 < P_n >에 대하여 생각하겠습니다. 사영함수 π_i에 의하여 생성된 수열 < π_i(P_n) >은 각 사영공간에서 0으로 수렴합니다.

P₁ = < 1, 0, 0, 0 …>

P₂ = < 0, 1, 0, 0 …>

P₃ = < 0, 0, 1, 0 ….>

…

0 = < 0, 0, 0, 0, …>

그러나 수열 < P_n >은 모든 자연수 k에 대하여 d(P_k, 0) = 1이므로, 0으로 수렴하지 않습니다. 사실상 < P_n >은 수렴하는 부분수열을 갖지 않습니다.

예 6.41

H^* = {< 0, a₁, a₂, a₃, … > | < a₁, a₂, a₃, … > ∈ H }는 초항이 0으로 이루어진 H의 원소들의 집합이고 Hilbert 공간 H의 부분집합입니다. 함수

f : H → H^*, f(< a₁, a₂, a₃, … >) = < 0, a₁, a₂, a₃, …>

는 등거리 함수이므로, H는 자신의 진부분집합과 등거리공간입니다.

정의 6.42

(V, +, ⁠⁠⁠· )이 벡터공간(vector space)이라고 할 때, V에서 ℝ로 가는 함수 || || : V → ℝ이 V의 원소 u, w와 실수 k에 대하여 다음의 세 가지 조건을 만족할 때, 벡터공간 V의 노름(norm)이라고 합니다.

|| v || ≥ 0이고, [ || v || = 0 ⇔ v = 0 ]입니다.
|| v + w || ≤ || v || + || w ||
|| kv || = | k | || v ||

이 때 (V, ll ll)을 노름공간(normed space)이라 정의하고, ll v ll를 벡터 v의 노름(norm)이라고 부릅니다.

정리 6.43

V가 노름공간일 때 함수

d : V x V → ℝ

d(v, w) = ll v – w ll는 V의 거리함수입니다. 이때 d를 V의 유도거리함수(induced metric)이라고 합니다.

증명

(1) d(v, w) = || v – w || ≥ 0이고 d(v, v) = || v – v || = 0입니다.

(2) d(v, w) = || v – w || = || (-1)(w – v) || = | -1| || w – v || = || w – v || = d(w, v)

(3) d(u, v) = || u – v || = || (u – w) + (w – v) || ≤ || u – v || + || w – v || = d(u, w) + d(w, v)

(4) v ≠ w이면 v – w ≠ 0이고, 따라서 d(v, w) = || v – w || > 0입니다.

모든 노름공간은 거리함수, 즉 유도거리함수를 생성합니다. 따라서 모든 노름공간은 거리공간이 되고, 결국 위상공간이 됩니다.

정의 6.44

( ℝ^m, +, ⁠⁠⁠· )은 두 개의 이항연산 +와 ⁠⁠⁠⁠⁠⁠·이 ℝ^m의 원소 (a₁, …, a_m), (b₁, … , b_m)와 실수 k에 대하여, 다음 식으로 정의된 벡터공간입니다.

(a₁, …, a_m) + (b₁, … , b_m) = (a₁ + b₁, … , a_m + b_m)

K(a₁, …, a_m) = (Ka₁, …., Ka_m)

이때 ℝ^m에서 ℝ로 가는 함수 ll ll가

\[|| (a_{1}, a_{2}, …,a_{m})|| = \sqrt{\sum_{n=1}^m a_i^2}\]

로 정의된 경우, 이 함수를 유클리드 노름(Euclidean norm)이라고 부릅니다.

정리 6.45

코시 슈바르츠 부등식(Cauchy-Schwarz inequality)

ℝ^m의 점 a = (a₁, …, a_m)과 b = (b₁, … , b_m)에 대하여 || ||이 유클리드 노름일 때, 다음의 식을 만족합니다.

\[\sum_{i = 1}^m |a_{i}b_{i}|\leq||a||||b||= \sqrt{\sum_{n=1}^m a_i^2}\sqrt{\sum_{n=1}^m b_i^2}\]

증명

a = 0이거나 b = 0일 때 등식이 성립합니다. a ≠ 0, b ≠ 0이라고 가정하면 || a || ≠ 0 이고 || b || ≠ 0입니다. 모든 실수 x와 y에 대하여

0 ≤ (x – y)² = x² – 2xy + y²

이므로 이는 곧

2xy ≤ x² + y²

가 됩니다.

x = | a_i | / || a ||, y = | b_i | / || b ||

에 대하여 위의 부등식을 적용시키면, 임의의 자연수 i에 대하여 다음의 부등식을 얻습니다.

\[\frac{2|a_{i}||b_{i}|}{||a||||b||}\leq\frac{|a_{i}|^{2}}{||a||^{2}} + \leq\frac{|b_{i}|^{2}}{||b||^{2}}\]

양 변의 i를 1에서 m까지 더하고,

\[\sum_{i=1}^m|a_{i}|^2 = ||a||^2, \ \sum_{i=1}^m|b_{i}|^2 = ||b||^2\]

을 대입하면 원하는 부등식을 얻을 수 있습니다. 이 코시 슈바르츠 부등식을 이용하면 아래 민코프스키 부등식을 증명할 수 있습니다.

정리 6.46

민코프스키 부등식(Minkowski inequality)

ℝ^m의 두 점 a와 b에 대하여

|| a + b || ≤ || a || + || b ||

이 성립합니다.

증명

a = (a₁, …, a_m)이고 b = (b₁, … , b_m)이라고 하겠습니다. 만일 || a + b || = 0이면 항상 성립합니다. 이제 || a + b || ≠ 0 이라고 하겠습니다. 임의의 a_i, b_i ∈ ℝ에 대하여

| a_i + b_i | ≤ | a_i | + | b_i |

이고, 따라서

\[||a+b||^2 = \sum|a_{i} + b_{i}|^2 \\ \leq \sum|a_{i}+b_{i}|(|a_{i}|+|b_{i}|) \\ = \sum(|a_{i} + b_{i}||a_{i}|+|a_{i} + b_{i}||b_{i}|)\]

입니다. 코시-슈바르츠 부등식에 의하여

\[\sum|a_{i}+b_{i}||a_{i}|\leq||a+b||||a|| \ \\ and \ \sum|a_{i}+b_{i}||b_{i}|\leq||a+b||||b||\]

이 됩니다. 따라서

|| a + b ||² ≤ || a + b || || a || + || a + b || || b || = || a + b || ( || a || + || b || )

입니다. || a + b || ≠ 0 이므로 || a + b ||로 양변을 나누면, || a + b || ≤ || a || + || b || 입니다.

정리 6.47

ℝ^m 공간에서 유클리드 노름 || || 은 노름의 공리를 만족시킵니다. 즉, 실제로 노름이 됩니다.

예제 6.48

ℝ^∞에서 노름을

\[||<a_{n}>||=\sqrt{\sum_{i=1}^∞ a_i^2}\]

이라 할 때, 민코프스키 부등식이 성립함을 보이시오

풀이

ℝ^∞의 원소 a = < a_n >와 b = < b_n >에 대하여

\[\sqrt{\sum_{i=1}^n |a_{i}+b_{i}|^2} \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n |a_{i}|^2}+\sqrt{\sum_{i=1}^n |b_{i}|^2} \\ \leq \sqrt{\sum_{i=1}^∞ |a_{i}|^2}+\sqrt{\sum_{i=1}^∞ |b_{i}|^2} \\ = ||a|| + ||b||\]

입니다. 그런데 위 부등식이 모든 자연수 n에 대해 성립하므로,

\[||a+b|| =\sqrt{\sum_{i=1}^∞ |a_{i}+b_{i}|^2} \\ =\lim_{n \rightarrow ∞}\sqrt{\sum_{i=1}^n |a_{i}+b_{i}|^2} \leq ||a||+||b||\]

이 되므로 ℝ^∞에서도 민코프스키 부등식이 성립합니다.

[위상수학 공부] 17. Hilbert 공간, 노름공간

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