거리공간
거리공간. 위상수학 공부 14.
사실 저번에 적은 내용 이후에 적을 부분들이 더 있습니다만, 이 부분은 그림이 많아서 적어서 올리기도 애매하고, 또 설마설마… 졸업시험에 이런 건 안나오겠지… 라는 생각도 조금은 들어있어서 생략하고 제가 공부하는 책에서 6장에 해당하는 거리공간에 대한 내용부터 적기로 했습니다. 일단 3월까지 블로그에 다 적어줘야 하기때문에요… 하나씩 적어보겠습니다! 개인적으로는 그나…마… 위상수학에서 조오금은… 할 만한 부분이지 않나 싶습니다.
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정의 6.1
X × X에서 ℝ로 가는 함수 d가 X의 임의의 원소 a, b, c에 대하여 아래의 네 가지 조건을 만족시킬 때 d를 X의 거리함수(metric)라 하고, (X, d)를 거리공간(metric space)이라 합니다.
(1) d(a, b) ≥ 0, d(a, a) = 0
(2) d(a, b) = d(b, a)
(3) d(a, c) ≤ d(a, b) + d(b, c)
(4) a ≠ b ⇒ d(a, b) > 0
이 경우 d(a, b)를 a와 b 사이의 거리(distance)라고 합니다. 함수 d가 조건 (1), (2), (3)을 만족시킬 때 d를 X의 유사거리함수라고 합니다. 위의 정의에 따르면 두 점 사이의 거리는 음수가 될 수 없고, 같은 점 사이의 거리는 항상 0이며, a와 b 사이의 거리는 b와 a 사이의 거리와 같습니다. 조건 (3)은 삼각 부등식을 의미하며, 서로 다른 두 점 사이의 거리는 항상 0보다 큽니다.
예 6.2
(1) d : ℝ × ℝ → ℝ가 d(a, b) = | a – b |로 정의된 함수일 때, d는 ℝ의 거리함수가 됩니다. 이때 d를 ℝ의 보통거리함수라고 합니다.
(2) 함수 d : ℝ2 × ℝ2 → ℝ이 ℝ2의 두 점 a = (a1, a2), b = (b1, b2)에 대하여
d(a, b) = √((a1 – b1)2 + (a2 – b2)2)
로 정의되었을 때, d는 ℝ2의 거리함수가 됩니다. 이때 d를 ℝ2의 보통거리함수라고 합니다.
(3) 함수 d : ℝ2 × ℝ2 → ℝ가 ℝ2의 두 점 a = (a1, a2), b = (b1, b2)에 대하여
d1(a, b) = max{| a1 – b1 |, | a2 – b2 |}
로 정의된 함수도 ℝ2의 거리함수가 됩니다. 이 거리함수를 택시거리(taxicab metric)함수라 합니다.
(4) 함수 d : ℝ2 × ℝ2 → ℝ가 ℝ2의 두 점 a = (a1 , a2), b = (b1, b2)에 대하여
d2(a, b) = | a1 – b1 | + | a2 – b2 |
로 정의된 함수도 ℝ2의 거리함수가 됩니다.
예 6.3
d : X × X → ℝ가
d(a, b) = 0 (a = b일 때), 1 (a ≠ b일 때)
로 정의된 함수일 때, d는 X의 거리함수가 됩니다. 이때 d를 X의 이산거리함수(trivial metric)라고 합니다.
정의 6.4
d는 X의 거리함수입니다. X의 한 점 p와 X의 공집합이 아닌 부분집합 A 사이의 거리는
d(p, A) = inf{d(p, a) | a ∈ A}
로 정의됩니다. X의 부분집합 A와 B가 공집합이 아닐 때, 두 집합 A와 B사이의 거리는
d(A, B) = inf{d(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}
로 정의됩니다. X의 부분집합 A가 공집합이 아닐 때 A의 지름은
d(A) = sup{d(a, a’) | a, a’ ∈ A}
로 정의됩니다. d(A) < ∞일 때 A는 유계(bounded)라 하며, d(A) = ∞일 때 A는 무계(unbounded)라고 합니다.
예 6.5
A = [0, 1)와 B = (1, 2]는 ℝ의 부분집합입니다. d가 ℝ의 보통거리함수이면 d(A, B) = 0입니다. 그러나 d*가 ℝ의 이산거리함수이면, d*(A, B) = 1입니다.
정리 6.6
d는 X의 거리함수입니다. X의 부분집합 A와 B는 공집합이 아니고 p가 X의 한 점일 때 다음을 만족시킵니다.
(1) d(p, A), d(A, B), d(A)는 음수가 아닙니다.
(2) p ∈ A이면, d(p, A) = 0입니다.
(3) A ∩ B ≠ ∅이면, d(A, B) = 0입니다.
(4) A가 유한집합이면 A는 유계입니다.
정의 6.7
d는 X의 거리함수입니다. X의 한 점 p와 임의의 양수 δ에 대하여
Sd(p, δ) = {x ∈ X | d(p, x) < δ}
를 열린 공(open sphere)이라고 합니다. 주어진 거리 함수 d를 혼동할 염려가 없을 때 Sd(p, δ)를 S(p, δ)로 씁니다.
예 6.8
d가 ℝ의 보통거리함수이면 열린 공 S(p, δ)는 열린 구간 (p – δ, p + δ)이 됩니다.
예 6.9
p = (0, 0)은 ℝ2의 한 점이고, δ = 1이라고 하겠습니다. 이 때 S(p, δ)는 주어진 거리함수 d에 따라서 다음과 같습니다.
(1) d가 ℝ2의 보통 거리함수일 때, S(p, δ)는 중심이 (0, 0)이고 반지름이 1인 원의 내부입니다.
예 6.10
d가 X의 이산거리함수이고 p가 X의 한 점이라 하면, 열린 공 S(p, δ)는 아래와 같습니다.
S(p, δ) = X (δ > 1일 때), {p} (δ ≤ 1일 때)
보조 정리 6.11
거리공간의 부분집합 S가 중심이 p이고 반지름이 δ인 열린 공일 때, S 안의 모든 점 q에 대하여, q를 중심으로 하고 S에 포함되는 열린 공 T가 존재합니다.
증명
S = S(p, δ)이라 하겠습니다. q가 S의 한 점이므로 d(p, q) < δ입니다.
ε = δ – d(p, q)
라 하면 ε > 0이 되고, T = S(q, ε)는 q를 중심으로 하고 S에 포함되는 열린 공이 됩니다.
정리 6.12
d가 X의 거리함수일 때, X의 열린 공들의 집합
{S(p, δ) | p ∈ X, δ > 0}
은 X의 위상을 생성하는 기저가 됩니다.
증명
집합 Β = {S(p, δ) | p ∈ X, δ > 0}가 기저가 되기 위한 필요충분조건은 (1) ∪Β = X, (2) B1, B2 ∈ Β이고 p ∈ B1 ∩ B2일 때, p ∈ B* ⊆ B1 ∩ B2를 만족시키는 B*가 Β 안에 적어도 한 개 존재하는 것입니다. X는 전체집합이므로 ∪Β ⊆ X는 당연합니다. X 안의 한 점 p에 대하여 S(p, 1)은
p ∈ S(p, 1) ⊆ ∪Β
가 되어, (1)이 성립합니다. 위 보조정리에 의해 B1의 점 p에 대하여 양수 δ1이 존재하여 p ∈ S(p, δ1) ⊆ B1이 되고, B2의 점 p에 대하여 양수 δ2가 존재하여 p ∈ S(p, δ2) ⊆ B2가 됩니다. δ = min{δ1, δ2}라 하면, δ > 0이므로, B* = S(p, δ)는 Β에 속하고, p ∈ B* ⊆ B1 ∩ B2가 됩니다.
정리 6.13
d가 X의 거리함수일 때, 정리 6.12에 주어진 열린 공들에 의해서 생성된 위상을 거리위상(metric topology)이라고 합니다.
참고 6.14
거리함수에 의해 유도되는 거리위상이 항상 존재하므로, 앞으로 거리공간을 언급할 때는 언제나 거리위상이 주어졌다고 가정하겠습니다.
예 6.15
(1) d가 ℝ의 보통거리함수일 때, ℝ의 열린 공은 유계인 열린 구간이 됩니다. 따라서 d는 ℝ의 보통위상을 유도합니다.
(2) d가 X의 이산거리함수이고 p가 X의 한 점이면 S(p, 1/2) = {p}입니다. 따라서 X의 모든 한원소집합이 열린 집합이고, 결과적으로 모든 부분집합이 열린 집합이 됩니다. 즉 이산거리함수는 이산위상을 유도합니다.
예 6.16
(X, d)가 거리공간이고 Y가 X의 공집합이 아닌 부분집합이면 축소함수 d|Y는 Y에서의 거리함수가 됩니다. 이때 (Y, d|Y)를 (X, d)의 거리부분공간(metric subspace)이라 합니다. 사실상 (Y, d|Y)는 (X, d)의 부분위상공간입니다.
