해석학 공부 극한

[해석학 공부] 2장. 극한(Limit) 관련 문제

해석학 공부 2장으로 극한 관련 문제를 몇 가지 적어봤습니다. 극한 개념은 쉬운데 해석학으로 나오니 뭔가 낯설어보이네요... 아무래도 그냥 푸는거랑 주관식으로 적는 거랑은...
수열의 극한

해석학 공부 극한

해석학 공부 2. 극한

들어가기 전에 : 해야 할 과목들이 많은데 시간은 부족하고 블로그에 정리하는 것도 또 쉽지 않습니다만 최대한 열심히 해야죠. 제 수학 공부에 대한 기본적인 개괄은 1장에 잡다하게 주욱 적어놨으니 2장부터는 들어가기 전 잡담은 최대한 줄이고 시작하겠습니다. 극한 관련 문제입니다.

Table of Contents

수열의 극한
[해석학 공부] 2장. 극한(Limit) 관련 문제 1

문제 1.

Find all cluster point of A =

\[\left\{\frac{1}{n} \mid n \in ℤ \right\}\]

풀이

  1. (∵) 0 ∈ A'
    Every open set containing 0 is of the form (a, b) with a < 0 < b. a, b ∈ ℝ
    So ∃n ∈ ℕ s. t. 1/n < b
    this implies ((a, b) \ {0}) ∩ A ≠ Ø
    thus 0 ∈ A'
  2. For x ≠ 0, x ∉ A'
    (∵) Take ε = inf {|(x – 1)/n| n ∈ ℤ, x ≠ 1/n }
    Then ((x – ε, x + ε) \ { x }) ∩ A = Ø
    Thus x ∉ A'

관련 정의 1.

  • Cluster Point(집적점) = Limit Point

P is a cluster point of A ⇔ ∀ open G ∋ P. (G – { p }) ∩ A ≠ Ø

문제 2.

Prove that

\[\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{n^2+n}}{n+1}=1\]

풀이

Let ε > 0 be given

Take N > 1/ε

Then ∀n > N ∈ ℕ,

\[\mid\frac{\sqrt{n^2+n}}{n+1}-1\mid =\mid\frac{\sqrt{n^2+n}-(n+1)}{n+1}\mid=\frac{1}{\sqrt{n^2+n}+(n+1)}<\frac{1}{n}<\frac{1}{N}<\xi\]

문제 3.

Suppose

\[\sum_{n=1}^\infty a_{n} = 1.\]

Find this and justify your answer.

\[\lim_{n \rightarrow }\frac{1}{2-a_{n}}\]

풀이

Since

\[\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n a_{k} = \sum_{n=1}^n a_{n} = 1 \]

and

\[\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n+1} a_{k} = 1\]

Then

\[\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n}= \lim_{n \rightarrow \infty}\left(\sum_{k=1}^{n} a_{k} – \sum_{k=1}^{n+1} a_{k} \right)= 1-1=0\]

Thus

\[\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2-a_{n}} = \frac{1}{2-0}=\frac{1}{2}\]

문제 4.

Let a be a real number. Consider a sequence {an} such that a1 = a + 2 and

\[a_{n+1} = a + \sqrt{a_{n}-a} \]

for n ∈ N. By using the Monotone convergence theorem. prove that limn→ an exists.

풀이

(1)

\[\left\{{a_{n}}\right\}_{n=1}^\infty\]

is decreasing

(∵)

\[a_{1}-a_{2}=a_{1}-(a+\sqrt{a_{1}-a})=a_{1}-a-\sqrt{2}=2-\sqrt{2}\geq0\]

② suppose that ak+1 ≤ ak for some k ≥ 1

then

\[a_{k+1}-a_{k+2}=a_{k+1}-(a+\sqrt{a_{k+1}-a})=a_{k+1}-a-\sqrt{a_{k+1}-a}=\sqrt{a_{k}-a}-\sqrt{a_{k+1}-a}\geq0\]

so

ak+2 ≤ ak+1 holds

by the mathematical induction, an+1 ≤ an for all n ∈ N.

참고

1) Monotone convergence Theorem

  1. decreasing ⇒ 아래로 bounded
  2. increasing  ⇒ 위로 bounded

2) mathematical induction : 수학적 귀납법

(2) For all n ∈ N, an ≥ a

(∵)

① By def of a1 = a + 2, a1 ≥ a.

② suppose that ak ≥ a for some k ≥ 1

then

\[a_{k+1}-a=\sqrt{a_{k}-a}\geq0\]

so ak+1 ≥ a holds

by the mathematical induction, an ≥ a for all n ∈ N

by the monotone convergence theorem, limn→ an exists.

정의 1.

임의의 집합 X의 원소들의 수열(sequence)은 자연수의 집합 ℕ에서 X로 가는 함수 a : ℕ → X입니다. 특히 X = ℝ일 때, 이 실수들의 수열을 간단히 실수열(Real sequence)이라고 부릅니다. 이 때, 자연수 n에서의 함수값 a(n)을 수열의 제n항이라 부르고, 보통 an으로 쓰며, 이 실수열을

\[\left\{ a_{n} \right\}_{n=1}^\infty\]

또는 간단히 {an} 식으로도 씁니다.

정의 2.

위의 실수열 {an}이 극한값 L ∈ ℝ을 갖는다는 것은 곧

∀ ε > 0, ∃ N ∈ ℕ s. t. n ≥ N ⇒ |an – L| < ε

일 경우를 말합니다. 이때, ‘n이 무한대로 갈 때, an의 극한은 L이다’ 또는 ‘n이 무한대로 갈 때, an은 극한 L에 수렴(converge)한다’라고 말하고,

\[\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} = L\]

또는 an → L (n → ∞)라고 씁니다.

위의 실수열이 극한값을 갖지 않으면 an은 발산한다(diverge)고 합니다.

  • 위의 정의를 말로 풀어쓰면 ‘n이 충분히 크면(즉, 어떤 N에 대해 n ≥ N이면) an은 L에 임의로 가까워 진다’로도 쓸 수 있습니다.
    = |an – L| < ε, ∀ ε > 0

정의 3.

실수의 수열 {an}이 an ≤ an+1 [an ≥ an+1] ∀n ∈ N이면 증가수열[감소수열]이라 합니다. {an}이 증가[감소]수열이면 단조수열(Monotone sequence)이라고 합니다. 또, 위의 부등식에서 an < an+1 [an > an+1] ∀n ∈ N이면 {an}은 순증가수열[순감소수열]이라 하고, {an}이 순증가[순감소]수열이면 순단조수열(strictly monotone sequence)이라고 합니다.

  • {an}이 증가수열이면 {an}은 a1에 의해 아래로 유계입니다. 따라서 {an}이 유계가 되는 것은 {an}이 또한 위로 유계일 때뿐입니다. 마찬가지로 {an}이 감소수열이면 {an}이 유계가 되는 것은 {an}이 또한 아래로 유계일 때뿐입니다.

정리 4.

단조수열 {an}이 수렴 ⇔ {an}이 유계입니다. 또한 아래가 성립합니다. 아래 정리를 단조수렴정리(Monotone Convergence Theorem)이라고 합니다.

  1. 증가[감소]수열 {an}이 위로[아래로] 유계이면 liman = supan [infan]
  2. 증가[감소]수열 {an}이 위로[아래로] 유계가 아니면 liman = + ∞ [ – ∞]
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