해석학 무한급수 수렴 판정법
해석학 공부 무한급수, 수렴 판정법 관련 문제.
들어가기 전에 : 네이버 블로그는 수식 적는 툴이 있어서 비교적 쉽게 수학을 적을 수 있다 치더라도 티스토리나 심지어는 저랑 같은 워드프레스로도 수학 포스팅을 깔끔하게 적으시는 분들이 많으시던데 정말 존경스럽습니다. 제가 적은 글들을 계속 보는데 스스로 와 난 왜 이렇게밖에 못하지하고 자괴감이 들 정도입니다. 그래도 제 스스로 공부를 위한 것이니 최대한 열심히 하겠습니다. 무한급수, 그 중에서도 수렴 판정법 관련 문제를 조금 적어봤습니다. 사실 문제와 정리, 정의만 적는 것이 아니라 예제나 증명 등도 풍부하게 적어야 진짜 공부인데 제가 너무 시간이 부족하다보니 다소 부족한 공부를 하는 점 양해바랍니다…
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문제 1.
Let an > 0 for all n ∈ ℕ such that
\[\sum_{n=1}^{\infty}a_{n} < \infty\]Determine Whether the series
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5a_{n}a_{n+1}}{a_{n}+3a_{n+1}}\]and
\[\sum_{n=1}^{\infty}\left(-1\right)^n\frac{1-a_{n}}{2+a_{n}}\]justify your answer.
풀이
(1)
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5a_{n}a_{n+1}}{a_{n}+3a_{n+1}}\]converges
(∵) Let xn = 5(anan+1)/2(an+3an+1) and yn=an
then
\[\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{5a_{n+1}}{2a_{n}+3a_{n+1}}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{5a_{n+1}}{2a_{n+1}+3a_{n+1}}=1\]and
\[\sum_{n=1}^\infty y_{n} < \infty\]so by the limit comparison test,
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5a_{n}a_{n+1}}{a_{n}+3a_{n+1}}\]converges
(2)
\[\sum_{n=1}^{\infty}\left(-1\right)^n\frac{1-a_{n}}{2+a_{n}}\]converges
(∵) Note that
\[\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} = 0\]since
\[\sum_{n=1}^\infty a_{n} < \infty\] \[\lim_{k \rightarrow \infty}(-1)^{2k} \frac{1-a_{2k}}{2+a_{2k}}=\frac{1}{2}\neq-\frac{1}{2}=\lim_{k \rightarrow \infty}(-1)^{2k+1} \frac{1-a_{2k+1}}{2+a_{2k+1}}\]since
\[∄\lim_{n \rightarrow \infty}(-1)^{n}\frac{1-a_{n}}{2+a_{n}}\]then
\[\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n}\frac{1-a_{n}}{2+a_{n}}\]diverges by the divergence test
- 참고
(1)
\[\sum_{n=1}^\infty a_{n} <\infty \Rightarrow converge\](2) limit comparison test
\[when\ a_{n}, b_{n}, 0<\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{b_{n}}{a_{n}} <\infty\] \[\Rightarrow\sum_{n=1}^\infty a_{n}, \sum_{n=1}^\infty b_{n}\]둘 중 하나가 수렴이면 다른 하나도 수렴, 둘 중 하나가 발산이면 다른 하나도 발산
(3) divergence test
\[\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} \neq \Rightarrow\sum_{n=1}^\infty a_{n} = \infty\]문제 2.
Let an > 0 and an ≥ an+1 for all n ∈ N. if
\[\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} = 0\], prove that
\[\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n} a_{n} \]converges
증명
\[\mid \sum_{k=1}^n(-1)^{k}\mid \leq1\]and
\[\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^\infty\]is decreasing with
\[\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} = 0\]so by the Dirichlet test,
\[\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n}a_{n} \]converges
- 참고
1) an ≥ an+1 : decreasing
2)
\[\mid\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n}\mid \leq1\ \ : bounded\]
3) Dirichlet test
⇔ {an} ↓0 as n → ∞ and
\[\mid\sum_{k=1}^n b_{k}\mid\ \ is\ bounded\] \[\Rightarrow\sum_{n=1}^\infty a_{n}b_{n}<\infty\\]문제 3.
Determine whether each of the following series converges or not (justify your answer)
풀이
(1)
\[\sum_{k=1}^\infty \frac{(k+2)!}{k^{k+1}}\]let
\[a_{n} = \frac{(n+2)!}{n^{n+1}}\]then
\[\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(n+3)!}{(n+1)^{n+2}} \cdot\frac{n^{n+1}}{(n+2)!}\] \[=\lim_{n \rightarrow \infty} \left( \frac{n}{n+1}\right)^{n+1}\cdot\frac{n+3}{n+1}=\lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1-\frac{1}{n+1} \right)^{n+1}\cdot\frac{n+3}{n+1}\] \[=\frac{1}{e}<1 (\because \lim_{n \rightarrow \infty} (1+\frac{1}{n})^{n} = e)\]by the ratio test, the series converges.
(2)
\[\sum_{k=1}^\infty \sin\left( 1-\frac{\sin k}{k} \right)\] \[\lim_{n \rightarrow \infty} sin(1-\frac{\sin n}{n}) = \sin \left( \lim_{n \rightarrow \infty}(1-\frac{\sin n}{n}) \right)\] \[=\sin 1 \neq0\]by the divergence test, the series does not converge
(3)
\[\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{k}}(1+\frac{1}{k})2k\]Let
\[a_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}},\,\,b_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}(1+\frac{1}{n})^{2n}\]then
\[\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{b_{n}}{a_{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty} (1 + \frac{1}{n})^{2n}=e^{2}\]and
\[\sum_{n=1}^\infty a_{n}\]diverges by the p-series test by the limit comparison test, the series diverges.
참고
(1) Divergence test (밑에서 설명)
(2) comparison test
an ≤ bn, ∀n ∈ ℕ
\[\sum_{n=1}^\infty b_{n} < \infty \Rightarrow \sum_{n=1}^\infty a_{n} < \infty\,\, (converge)\] \[\sum_{n=1}^\infty a_{n} = \infty \Rightarrow \sum_{n=1}^\infty b_{n} = \infty\,\, (diverge)\](3) Limit comparison test
(4) Integral test (p-series test)
\[\sum_{x=1}^\infty \frac{1}{x^{p}} \Rightarrow p>1 : converge,\,\,\, p<1 : diverge\](5) ratio test
\[\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}<1 : converge\] \[\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}>1 : diverge\](6) Alternative Series Test
\[\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n} a_{n}, a\downarrow0\Rightarrow series : converge\]문제 4.
Let the sequence {fn} with n ≥ 1 be defined on [0, 2] by
\[f_{n}(x) = \begin{cases}x & if\,\, 0\leq n\leq\frac{1}{n}\\\frac{1}{n} & if\,\, \frac{1}{n}\leq x\leq2\end{cases}\]Find the pointwise limit function of fn. Is it uniformly convergent?
풀이
The pointwise limit function of fn is f = 0 on [0, 2]
(∵) for each x ∈ (0, 2], ∃ N ∈ ℕ s. t. 1/N < x. so ∀ n ≥ N. fn(x) = 1/N.
Thus
\[f(x)=\lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=0 \,\, (x\neq0\,인\,경우)\]if x=0, then fn(x)=0 for all n ∈ ℕ
thus
\[f(x)=\lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x) = 0\,(x=0\,인\,경우)\]fn uniformly converges to f=0 on [0, 2]
(∵) Goal ∀ ε > 0, ∃ N ∈ ℕ s. t. |fn(x) – f(x)| < ε, ∀n ≥ N, ∀x ∈ [0, 2]
let ε > 0 be given
Take N ∈ ℕ s. t. N > 1/ε
Then n ≥ N ⇒ |fn(x) – f(x)| ≤ |1/n – 0| ≤ 1/N < ε for all x ∈ [0, 2]
\[\left\{ f_{n} \right\}_{n=1}^\infty \rightarrow f\]참고
f is uniformly convergent on A
⇔ ∀ ε > 0, ∃ N ∈ ℕ s. t. |fn(x) – f(x)| < ε, ∀ n ≥ N, ∀ x ∈ A
- 0 ≤ x ≤ 1/n, |fn(x) – f(x)| ⇒ |x| ≤ 1/n
- 1/n ≤ x ≤ 2, |fn(x) – f(x)| ⇒ |1/n|= 1/n
- ⇒ |fn(x) – f(x)| ≤ 1/n
문제 5.
For each k ∈ ℕ, let
\[f_{k}(x)=\frac{x}{(1+x^{2})^{k}}\]Let
\[f(x)=\sum_{k=1}^\infty f_{k}(x)\]for each x ∈ ℝ. Find an explicit value of f(x). Is it uniformly convergent on ℝ?
풀이
(1)
if x ≠ 0,
\[\sum_{n=1}^\infty \frac{x}{(1+x^{2})^{k}} = \frac{\frac{x}{1+x^{2}}}{1-\frac{x}{1+x^{2}}}=\frac{\frac{x}{1+x^{2}}}{\frac{x^{2}}{1+x^{2}}}=\frac{1}{x}\,\,\left(\circledast\,\,\,\frac{초항}{1-공비\,\,\,\,\,}\right)\]if x=0,
\[\sum_{n=1}^\infty \frac{x}{(1+x^{2})^{k}} = 0\](2) if {fn} is continuous on ℝ & {fn} converge uniformly on ℝ ⇒ f is continuous on ℝ
f(x) = 1/x (if x ≠ 0) / 0 (if x = 0) ⇒ is not continuous
since {fn} is continuous on ℝ, then {fn} does not converge uniformly on ℝ
참고
(1) {fn} is continuous on ℝ & {fn} converge uniformly on ℝ⇒ f is continuous on ℝ
(2) f is not continuous on ℝ
⇒ {fn} does not converge uniformly on ℝ or {fn} is not continuous on ℝ
(1)과 (2)는 대우관계
정리 1.
f : X ⊂ ℝ → ℝ이고, a ∈ X라고 하면,
함수 f가 점 a에서 연속이다 ⇔ ∀ {xn} ⊂ X s.t. xn → a, f(xn) → f(a).
이를 연속성의 수열판정법이라고 합니다.
정리 2.
f : X ⊂ ℝ → ℝ이고, a ∈ X라고 하면,
함수 f가 점 a에서 불연속이다 ⇔ ∃ {xn} ⊂ X s.t. xn → a, f(xn) ↛ f(a).
이를 불연속성의 수열판정법이라고 합니다.
정의 3.
실수의 수열 {an} ⊂ ℝ이 주어졌을 때, 각 자연수 n에 대하여 제n항까지의 합
\[s_{n} = a_{1} + a_{2} + \ … \ + a_{n}=\sum_{k=1}^n a_{k}\]이것들로 구성된 수열 {sn} ⊂ ℝ을 수열 {an} ⊂ ℝ로부터 생성된 무한급수(infinite series), 또는 줄여서 급수라고 합니다. 이때 an을 무한급수의 제n항이라고 하고, 실수 Sn을 무한급수의 제n부분합(the nth partial sum)이라고 부릅니다.
정의 4.
무한급수 {sn}이 주어졌을 때, 그 부분합들의 수열 {sn} ⊂ ℝ이 어떤 실수 S에 수렴하면 이 주어진 무한급수를 ‘S에 수렴한다‘또는 ‘S를 갖는다‘라고 하고, 발산하면 주어진 무한급수를 발산한다라고 합니다.
정리 5.
무한급수 {sn}이 수렴하기 위한 필요충분조건은 주어진 임의의 ε > 0에 대해 적당한 자연수 N(ε)이 존재해서 m ≥ n ≥ N(ε)이면
|sm – sn| = |an+1 + an+2 + … + am| < ε
급수에 대한 코시 수렴판정법이라고 합니다.
정리 6.
무한급수 {sn}이 수렴하기 위한 필요조건
\[\Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n}=0\]- 이 정리의 역은 참이 아닙니다.
정의 7.
임의의 급수 {sn}에 대하여, 각 항의 절대값을 취한 급수 {sn}이 수렴하면 주어진 급수는 절대수렴(absolutely convergent)한다고 합니다. 주어진 급수가 수렴은 하지만 절대수렴하지는 않으면 주어진 급수는 조건수렴(conditionally convergent)한다고 합니다.
정리 8.
\[두\ 급수 \sum_{n=1}^\infty a_{n},\ \sum_{n=1}^\infty b_{n}에\ 대해\]|an| ≤ |bn|, ∀n ∈ N일 때,
1)
\[\sum_{n=1}^\infty b_{n}이\ 절대수렴,\ \sum_{n=1}^\infty a_{n}도\ 절대수렴\] \[\sum_{n=1}^\infty |a_{n}| \leq\sum_{n=1}^\infty |b_{n}|\]2)
\[\sum_{n=1}^\infty |a_{n}|이\ 발산하면\ \sum_{n=1}^\infty |b_{n}|도\ 발산한다\]이를 비교 판정법(Comparison test)이라고 합니다.
정리 9.
\[두\ 급수 \sum_{n=1}^\infty a_{n},\ \sum_{n=1}^\infty b_{n}에\ 대해\] \[b_{n}\neq0,\ \forall n\in N,\ \lim_{n \rightarrow \infty}\vert\frac{a_{n}}{b_{n}}\vert=L\leq\infty\](1) 0 < L < ∞일 때,
\[\sum_{n=1}^\infty a_{n}이\ 절대수렴 \Leftrightarrow \sum_{n=1}^\infty b_{n}이\ 절대수렴\](2) L = 0일 때,
\[\sum_{n=1}^\infty b_{n}이\ 절대수렴 \Rightarrow \sum_{n=1}^\infty a_{n}이\ 절대수렴\](3) L = ∞일 때,
\[\sum_{n=1}^\infty |b_{n}|이\ 발산 \Rightarrow \sum_{n=1}^\infty |a_{n}|이\ 발산\]이를 극한비교판정법(Limit comparison test)이라고 합니다.
정리 10.
\[급수 \sum_{n=1}^\infty a_{n}, 수열 \left\{b_{n}\right\}에\ 대하여\](1)
\[\sum_{n=1}^\infty a_{n} 절대수렴,\ \left\{b_{n}\right\} 유계\] \[\Rightarrow \ \sum_{n=1}^\infty a_{n}b_{n}\ 절대수렴\]2)
\[\sum_{n=1}^\infty |a_{n}|\ 발산,\ \left\{\frac{1}{b_{n}}\right\} 유계\] \[\Rightarrow \ \sum_{n=1}^\infty |a_{n}b_{n}|\ 발산\]정리 11.
\[급수\ \sum_{n=1}^\infty a_{n}에\ 대해\] \[\lim_{}sup_{n \rightarrow \infty} |a_{n}|^{\frac{1}{n}}=L\ (L\leq\infty)\]이면,
(1) L < 1이면 절대수렴
(2) L > 1이면 발산
이를 n승근 판정법(nth root test)이라고 합니다.
정리 12.
\[급수\ \sum_{n=1}^\infty a_{n}에\ 대해\]an ≠ 0, ∀n ∈ N이고,
\[\lim_{n \rightarrow \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}}| = L\ (L \leq\infty)\]일 경우
(1) L < 1이면 절대수렴
(2) L > 1이면 발산
이를 비율 판정법(Ratio test)이라고 합니다.
정리 13.
함수 f : I = [1, ∞) → ℝ이 I 위에서 양이고 감소하는 연속함수라고 가정하겠습니다. 이 경우,
\[급수\ \sum_{n=1}^\infty f(n)에\ 대해\\](1) 급수가 수렴하기 위한 필요충분조건은 아래 이상적분이 존재하는 것입니다.
\[\int_{1}^{\infty} f(x)dx = \lim_{n \rightarrow \infty}\int_{1}^{\infty} f(x)dx\](2) 이 때,
\[if\ s_{n}=\sum_{k=1}^n f(k), s=\sum_{k=1}^\infty f(k)\] \[\int_{n+1}^{\infty} f(x)dx \leq s-s_{n}\leq \int_{n}^{\infty} f(x)dx\]이를 적분 판정법(Integral test)이라고 합니다.
