[위상수학 공부] 5장. 내부, 외부, 경계 (2), 수열의 수렴

내부, 외부, 경계 (2), 수열의 수렴

위상수학 공부 5장. 내부, 외부, 경계 (2), 수열의 수렴

위상수학도 적어놓은 것들은 많았습니다만 시험 등등 너무 많아서 여기 정리하는 시간은 또 없었습니다. 하지만 이왕 방학이 되었으니 다시 공부한다는 마음으로 나머지 내용들을 적어보고자 합니다. 이번에는 내부, 외부, 경계 2편, 그리고 수열의 수렴 관련 내용에 대해서 공부한 내용을 정리해봤습니다.

다른 화보다도 조금 퀄리티가 낮을 수 있는데, 워드프레스 플러그인 문제로 인해 자동저장이 잘 안되서 한번 적은 내용이 다 날아가서 현타가… 왔습니다. 죄송하고 한번만 양해부탁합니다…

제4절 내부, 외부, 경계

정의 3.44

위상공간 (X, Τ)의 부분집합 A에 대해 int(cl(A)) = ∅ 일 때, A는 어디서도 조밀하지 않다(nowhere dense)고 합니다. 그렇지 않을 경우 어디선가 조밀하다(somewhere dense)고 합니다.

예 3.45

보통위상공간 (ℝ, u)의 부분집합 ℕ에 대해 int(ℕ¯) = int(ℕ) = ∅이므로, ℕ은 어디서도 조밀하지 않습니다.
보통위상공간 (ℝ, u)의 유한부분집합 F에 대해 int(F¯) = int(F) = ∅이므로, F는 어디서도 조밀하지 않습니다.
보통위상공간 (ℝ, u)의 부분집합 ℚ에 대해 int(ℚ¯) = int(ℝ) = ℝ ≠ ∅이므로, ℚ는 어디선가 조밀합니다.

예 3.46

보통위상공간 (ℝ, u)의 부분집합 A = {1/n l n ∈ ℕ }를 생각하면, int(A¯) = int(A ∪ {0}) = ∅이므로, A는 어디서도 조밀하지 않습니다.

예제 3.47

보통위상공간 ℝ에서 I₀=[0, 1]이라 하고, 중간에서 1/3 길이의 열린 구간을 제거하여 I₁이라 가정하겠습니다. 즉,

I₁ = [0, 1/3] ∪ [2/3, 1]

이 됩니다. I₁에서 남아 있는 구간의 중간에서 각각 그 구간의 1/3 길이의 열린 구간을 제거하여 I₂라 하겠습니다. 즉,

I₂ = [0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪ [8/9, 1]

입니다. 즉 모든 k = 1, 2, 3, …에 대해서 I_k-1의 각 구간에서 가운데 1/3 길이의 열린 구간을 제거하여 I_k를 구합니다. 이제 집합 C를

C = ∩(K=0~∞)I_k

라고 하면, 이 집합을 칸토어 집합(Cantor set)이라고 합니다. 칸토어 집합은 어디서도 조밀하지 않습니다.

이를 보이면 I_k 각각은 유한 개의 닫힌 구간의 합집합이므로 닫힌 집합입니다. 칸토어 집합은 닫힌 집합 I_k들의 교집합이므로 닫힌 집합입니다. 또한 칸토어 집합은 어떤 열린 구간도 부분집합으로 포함하지 않습니다. 왜냐하면 열린 구간은 항상 양의 길이를 가지므로 그 길이를 δ라 하겠습니다. 모든 I_k는 각각의 성분 구간의 길이가 1/(3^k)입니다. 따라서 길이가 δ인 열린 구간은 각 성분 구간의 길이가 1/(3^k) < δ인 I_k에 포함될 수 없고, 결과적으로 칸토어 집합에 포함될 수 없습니다. 따라서 어떤 내점도 갖지 못합니다. 그러므로 int(cl(C)) = int(C) = ∅이 됩니다.

정의 3.48

위상공간 (X, Τ)의 점 p와 부분집합 A를 생각해보겠습니다. 점 p가 A의 내점일 때, 집합 A를 점 p의 근방(neighborhood)이라고 합니다. 즉, p를 포함하는 A의 열린 부분집합이 존재하면, A는 p의 근방입니다.

A의 모든 열린 부분집합들의 합집합 int(A) = ∪{G | G는 열린 집합, G ⊆ A} 이것을 A의 내부라고 합니다.
내점 관련 링크

예 3.49

보통위상공간 (ℝ, u)의 점 a에 대해, 열린 구간 (a – 1, a + 1)은 열린 구간 (a – 1, a + 1)를 포함합니다. 따라서 (a – 1, a + 1)는 a의 근방입니다.
보통위상공간 (ℝ, u)의 점 a를 생각할 때 닫힌 구간 [a – 1, a + 1]은 열린 구간 (a – 1, a + 1)을 포함합니다. 따라서 [a – 1, a + 1]는 a의 근방이 됩니다.
이산공간 (X, D)에서 X의 점 p에 대해, 집합 {p}는 점 p를 포함하고 {p} 자신의 열린 부분집합입니다. 따라서 p의 근방입니다.
이산공간 (X, D)에서 X의 점 p를 포함하는 모든 부분집합은 p의 근방이 됩니다.

일반적으로 한 점의 근방은 열린 집합일 필요가 없습니다. 특별히 근방이 열린 집합일 경우는 열린 근방, 닫힌 집합인 경우는 닫힌 근방이라고 부르기도 합니다. 일반적으로 한 점을 포함하는 열린 집합인 경우는 그 열린 집합 자신이 근방이 됩니다.

예제 3.50

집합 X = {a, b, c, d} 위에 위상 Τ = {X. ∅, {a}, {a, b}, {a, c, d}}가 주어졌다. 각 점의 근방을 모두 구하시오.

풀이

집합 {a}가 a를 포함하는 열린 집합이므로 {a}의 포함집합들이 a의 근방입니다. a의 근방을 모두 구하면

{a}, {a, b}, {a, c}, {a, d}, {a, b, c,}, {a, c, d}, {a, b, d}, X입니다.

b를 포함하는 가장 작은 열린 집합은 {a, b}입니다. 따라서 {a, b}의 포함집합들이 b의 근방이 됩니다. 그러므로

{a, b}, {a, b, c}, {a, b, d}, X가 점 b의 근방이 됩니다.

점 c를 포함하는 가장 작은 열린 집합은 {a, c, d}입니다. 따라서

{a, c, d}, X가 점 c의 근방들입니다.

마찬가지로 {a, c, d}, X가 점 d의 근방들입니다.

예제 3.51

위상공간 (X, Τ)의 부분집합 A가 열린 집합이기 위한 필요충분조건은 A가 자신의 모든 원소의 근방이 되는 것이다. 이를 증명하시오.

풀이

A가 열린 집합이면 모든 a ∈ A에 대하여 a ∈ A ⊆ A이 되므로 A는 a의 근방이 됩니다. 역으로 모든 a ∈ A에 대하여 A를 a의 근방이라고 하면, 적당한 열린 집합 G_a ∈ Τ가 존재하여 a ∈ G_a ⊆ A가 됩니다. 따라서

A = ∪{{a}} l a ∈ A} ∈ ∪{G_a l a ∈ A} ⊆ A

이 됩니다. 결국 A = ∪{G_a l a ∈ A}이고 G_a 각각이 열린 집합이므로 A도 열린 집합이 됩니다.

제5절 수열의 수렴

정의 3.52

(X, Τ)는 위상공간이고 <a_n : n ∈ ℕ >은 X의 점들로 이루어진 수열입니다. X의 점 a를 포함하는 임의의 열린 집합 G가 수열 <a_n>의 유한 개를 제외한 나머지 항들을 모두 포함할 때, <a_n>은 a로 수렴(converge)한다고 하고, a는 수열 <a_n>의 극한(limit)이라고 부릅니다. 즉, <a_n>이 a로 수렴하면, a를 포함하는 임의의 열린 집합 G를 잡았을 때 적당한 자연수 n*가 존재하여, n > n*인 모든 자연수 n에 대하여 a_n ∈ G이 됩니다.

예 3.53

보통위상공간 (R, u)에서

수열 <1/n>은 수렴하는 수열입니다.
수열 <1, 1, 1, 1,…>과 <3, 3, 3,…>은 수렴하는 수열입니다.
수열 <1, 0, 1/2, 0, 1/3, 0, …>은 수렴하는 수열입니다.
수열 <1, -1/2, 1/3, -1/4, …>은 수렴하는 수열입니다.

보통위상공간 (R, u)의 수렴하는 수열은 오직 한 개의 극한을 가진다는 사실은 이미 잘 알려져 있습니다. 그러나 일반 위상공간에서 수렴하는 수열은 두 개 이상의 극한을 가질 수 있습니다.

예 3.54

<a_n>은 비이산공간 (X, I)의 수열입니다. X의 점 a를 포함하는 열린 집합은 X밖에 없고, X는 수열 <a_n>의 모든 항을 포함하므로, <a_n>은 X의 모든 점으로 수렴합니다. 예를 들어 수열 <1, 2, 3, …>은 보통위상공간 (ℝ, u)에서는 수렴하지 않지만, 비이산공간 (ℝ, I)에서는 모든 실수로 수렴합니다. 수열 <1, 1/2, 1/3, …>은 보통위상공간 (ℝ, u)에서는 0으로만 수렴하지만, 비이산공간 (ℝ, I)에서는 모든 실수로 수렴합니다.

예 3.55

<a_n>은 이산공간 (X, D)의 수열입니다. {a}가 X의 점 a를 포함하는 열린 집합이므로, <a_n>이 수렴하기 위해서는 유한 개를 제외한 모든 항이 a이어야 합니다. 즉, <a1, a2, …, a_n*, a, a, a, ….>의 형태의 수열만 a로 수렴합니다. 예를 들어 수열 <1, 1/2, 1/3, …>은 (R, D)에서는 수렴하지 않습니다.

예제 3.56

여가산공간(cocountable space)에서 수열 <a_n>이 p로 수렴한다고 하면, <a_n>의 형태는 <a₁, a₂, …, a_n*, p, p, p,…>이다. 이를 보여라.

풀이

집합 A = {a_n l a_n =/ p}를 생각하면 A는 가산집합이고 따라서 X – A는 p를 포함하는 열린 집합입니다. 수열 <a_n>이 p로 수렴하므로 X – A는 <a_n>의 유한 개를 제외한 나머지 항들을 모두 포함하고 있습니다. 결국 A는 <a_n>의 유한 개의 항만을 포함합니다. 그러므로 <a_n>의 형태는

<a₁, a₂, …, a_n*, p, p, p,…>가 됩니다.

예 3.57

실수의 여가산공간 (ℝ, C_c)에서는 수열 <1, 1/2, 1/3, …>이 수렴하지 않습니다.

예제 3.58

여유한공간 (ℝ, C_f)에서 수열 <1, 2, 3,…>은 수렴하는가?

풀이

임의의 실수 p를 고정하고 p를 포함하는 임의의 열린 집합 G를 잡겠습니다. G가 ∅이 아닌 열린 집합이므로 G^c는 유한집합입니다. 따라서 G^c는 위 수열의 유한 개의 항 만을 포함합니다. 즉, G는 유한 개를 제외한 모든 항을 포함합니다. 따라서 위 수열은 점 p로 수렴합니다. 그런데 p가 임의의 점이므로 위 수열은 모든 실수로 수렴합니다.